Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

--------------------------

Для того, чтобы не запутаться (или запутаться?) окончательно с понятием  координаты вектора  AB^>  и  понятием   заданный вектор  AB^>  попробуем раз и навсегда эти понятия разграничить.

1) Совершенно очевидно, что для построения вектора в пространстве или на плоскости необходимо задать координаты точек начала и конца вектора. Если у нас такие координаты точек имеются, то мы легко построим один единственный уникальный вектор,  так как между двумя точками можно провести только одну прямую.

2) Когда мы говорим о координатах вектора (x, y, z), то имеем ввиду вектор, исходящий из начала координат. Т.е. координаты начала вектора всегда (0,0,0), координаты конца вектора, собственно и есть те самые (x₂ — x₁;    y₂ — y₁;   z₂ — z₁) = (x, y, z), о которых шла речь.

3) Зная лишь координаты вектора AB^>  в виде (x, y, z) , мы вряд ли построим исходный вектор  AB^>, заданный координатами точек А и В, ибо таких векторов - бесконечное множество. (Ну по теории вероятности мизерный шанс у нас всегда конечно есть :).

Рассмотрим вот такой пример, на основе Задачи 1 , приведенной в учебнике:

---------------------------

Задача 1. Найти координаты вектора AB^>, если A (5;—7;0,5) и B (2;—1; 2,5).

Решим задачу графически.

Что, собственно, мы сделали, перейдя от заданного вектора к его координатам?

(строим вектор AB^>)

Пусть AB^> = (х; у; z). Тогда х = 2 — 5 = — 3; у = —1 — (—7) = 6; z = 2,5 — 0,5 = 2.

Итак, AB^> = (—3; 6; 2).  

Строим вектор  AB^> = (—3; 6; 2), (по его координатам). Правда это будет уже не столько вектор AB^>, сколько вектор OМ^>, занимающий иное положение в пространстве относительно AB^>, но сохраняющий такие параметры AB^>, как направление и длину.

Рассмотрим еще один заданный вектор, например, CD^> , у которого координаты точки С (3, 0, 3), а координаты точки D (0, 6, 5).

Определяем координаты вектора CD^>: x = 0 — 3 ; y = 6 — 0 = 6; z = 5 — 3 = 2

Итак, CD^> = (—3; 6; 2).

Таким образом,  координаты вектора CD^> совпадают с координатами вектора AB^> и вектора OМ^> .

Можно поэкспериментировать и с прочим бесконечным множеством комбинаций чисел, разность которых приводит к координатам вектора  (—3; 6; 2).

О применении координат вектора читайте дальше в учебнике.