|
|
|
Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве. § 68. Расстояние от точки до плоскости Найдем расстояние d от произвольной точки М1(х1; у1; z1) до плоскости q, заданной своим нормированным уравнением х cos α + у cos β + z cos γ — р = 0 Это расстояние равно длине отрезка М1К, где К — проекция точки М1на плоскость q (рис. 205).
Пусть M0 — точка пересечения плоскости q с перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат; n0 — единичный нормальный вектор плоскости q. Искомое расстояние d равно модулю проекции вектора M0M1> на направление вектора KM1>или, поскольку KM1> и n0 коллинеарны, на направление вектора n0. Итак, d = |пpn0 M0M1>| (1) Выразим проекцию вектора M0M1> на направление вектора n0 через скалярное произведение этих векторов. Согласно формуле (3) § 17 получим d = |пpn0 M0M1>| = | M0M1> • n0 |. Так как M0M1> = (х1 — р cos α ; y1 — р cos β ; z1 — р cos γ) и n0 = (cos α; cos β; cos γ), то d = | (х1 — р cos α) cos α + (y1 — р cos β) cos β + (z1 — р cos γ) cos γ | и, следовательно, d = | х1 cos α +у1 cos β + z1 cos γ — р | (2) Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно модулю числа, получающегося в результате подстановки в левую часть нормированного уравнения плоскости координат данной точки. Задача 1. Определить расстояние от точки М(0; 1; 1) до плоскости Нормируем уравнение плоскости. Так как нормирующий множитель равен
По формуле (2) находим расстояние
Задача 2. Найти расстояние между параллельными плоскостями х — 2y + 2z — 3 = 0 и 2х — 4y + 4z — 30 = 0. Для определения расстояния между двумя параллельными плоскостями достаточно выбрать на одной из них какую-либо точку и затем найти расстояние от этой гочки до другой плоскости. Точка (15; 0; 0), очевидно, принадлежит второй плоскости. Нормированным уравнением первой плоскости является уравнение 1/3 х — 2/3 y + 2/3 z — 1 = 0 Искомое расстояние d находим по формуле (2); d = | 1/3 • 15 — 2/3 • 0 + 2/3 • 0 — 1| = 4. |
, то получаем
