Сборник задач по алгебре.

Глава V*. Уравнения прямых и плокостей в пространстве.

§ 71. Скрещивающиеся прямые.
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Как известно (§ 46), прямые l₁ и l₂ называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Пусть а и b — направляющие векторы этих прямых, а точки M₁ и M₂ принадлежат соответственно прямым и l₁ и l₂ (рис. 208).

Тогда векторы а, b, M₁M₂^> не компланарны, и поэтому их смешанное произведение не равно нулю, т. е. (а, b, M₁M₂^> ) =/= 0.

Верно и обратное утверждение:

если (а, b, M₁M₂^> ) =/= 0, то векторы а, b, M₁M₂^> не компланарны, и, следовательно, прямые l₁ и l₂ не лежат в одной плоскости, т. е. скрещиваются.

Таким образом, две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда выполнено условие

(а, b, M₁M₂^> ) =/= 0, (1)

где а и b — направляющие векторы прямых, а M₁ и M₂ — точки, принадлежащие соответственно данным прямым. Условие

(а, b, M₁M₂^> ) = 0 (2)

является необходимым и достаточным условием того, что прямые лежат в одной плоскости. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями

то а = (а₁; а₂; а₃), b = (b₁; b₂;b₃), М₁ (x₁; у₁; z₁), М₂(х₂; у₂; z₂) и условие (2) записывается следующим образом:

Задача. Исследовать взаимное расположение прямых:

а) В данном случае а = (2; 3; 1), b = (—1; 2; 3), M₁(2; 4; 4), М₂(3; — 1; 3). Проверяем условие (3):

Следовательно, данные прямые скрещиваются.

б) Направляющие векторы прямых имеют координаты а = (2; —8; 4), b = (—1; 1; 1). Первая прямая проходит через точку M₁(3; 3; 7), вторая — через точку М₂(2; 5; 7). Проверяем условие (3):

Данные прямые лежат в одной плоскости. Направляющие векторы прямых, очевидно, не коллинеарны. Следовательно, прямые пересекаются.

в) За направляющий вектор первой прямой возьмем векторное произведение векторов n₁ = (1; 1; 1) и n₂ = (5; 1; —1), т. е. нормальных векторов плоскостей, задающих первую прямую:

Из уравнения второй прямой видим, что b = (1; —3; 2). Направляющие векторы данных прямых коллинеарны, так как ^—2/₁= ⁶/_—3 = ^—4/₂ . Следовательно, данные прямые параллельны. Так как точка М₂(4; 2; 8), принадлежащая второй прямой, не удовлетворяет уравнениям первой прямой, то данные прямые не совпадают.