|
ГЛАВА VIII. О ПОДОБИИ ФИГУР . 191. Подобные многоугольники. Мы видели, что если тр-ки имеют углы соответственно равные, то стороны их пропорциональны; но о многоуг. нельзя сказать этого: легко начертить несколько таких мн-ков, что углы одного будут равны порознь углам другого, но стороны их не будут пропорц. между собою.
Так, на чер. 271-м изображены два прямоуг. АВСВ и ЕFКМ: сторона АВ вдвое больше ЕF, а АD втрое меньше ЕМ, стало быть стороны этих мн-ков не пропорцион., между тем углы их равны; прямоуг. АВСD не подобен ЕFКМ. Точно так же каждый из прям-ков AВСD и ЕFКМ не подобен квадрату аbсd. 192. Если мы начертим тр-ки AВС и abс (чер. 272), которых стороны пропорциональны,то, измеривши углы этих тр-ков, найдем, что они равны. Но мн-ки могут иметь пропорцион. стороны и неравные углы; так, на чер. 273-м изображены квадрат и ромб;
каждая сторона квадрата вдвое больше стороны ромба, но углы их не равны, и квадрат не подобен ромбу. Таким образом многоугольники подобны тогда, когда у них и углы равны, и стороны пропорциональны. Так, мн-ки AВСDЕ и abсdе (чер. 274) по-добны, потому что уг. А=уг. а, В=b, С=с..., и притом каждая сторона первого мн-ка вдвое больше сходственной ей стороны второго.
Если в подобных мн-ках (чер. 275) проведем диагонали из вершин двух равных углов, напр. А и а, то мн-ки разделятся на подобные тр-ки: АВС
193. Возьмем два правильн. шестиуг. (чер. 276) АВСDЕF и аbсdef. Каждый угол первoго=120° и каждый уг. второго = также 120°; стало быть, все углы этих мн-ков равны между собой; притом, так как все стороны в каждом мн-ке равны между собою, то стало быть во сколькo раз напр. СD больше сd, во столько же и АВ больше аb, и DЕ болыпе de...; поэтому стороны мн-ков пропорциональны и след. мн-ки подобны; точно так же каждый прав. 8-к подобен другому прав. 8-ку и т. д.; вообще — прашильиые многоуюльн. подобны, когда они имеют одинаковое число сторон. Рассуждая так же, как в § 189-м, выведем, что периметры подобн. многоуг. относятся как сходственные стороны. 194. Чтоб начертить мн-к, подобный данному АВСDЕ(чер. 277), разбиваем данный мн-к диагоналями на тр-ки; потом берем произвольную прямую аb и строим на ней тр-к abс
Можно поступить еще следующим образом. Положим. что на линии аb (чер. 278) надо ностроить мн-к,-подобный мн-ку АВСDЕF. При а и b строим углы, равные уг. А и В; потом на ат откладываем часть аf, которая была бы четвертою пропорциональною к АВ, аb и АF (см. § 188);
потом при f построим уг. = F; отложим на fп четвертую пропорциональную к АF, аf и FЕ, и т. д.
|
аbс, АСD 
