Часть первая

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА.

Глава   четвёртая.

Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных.

§ 49. Изменение суммы.
§ 50. Изменение разности.
§ 51. Изменение произведения.
§ 52. Изменение частного.

§ 49. Изменение суммы.

В этой главе речь будет идти о том, как изменяются результаты арифметических действий, если изменять числа, над которыми выполняются эти действия.

1.   Возьмём сумму двух слагаемых: 20 + 32 = 52, и   проследим, как она будет изменяться, если станем менять слагаемые. Будем увеличивать   первое    слагаемое,   второе же слагаемое будем оставлять без изменения.  Запишем результаты  в  виде  таблицы:

Первое слагаемое 20 21 23 26 30 35 41

Второе слагаемое 32 32 32 32 32 32 32

Сумма                    52 53 55 58 62 67 73

В первом столбце написано, что 20 + 32 = 52. Во втором столбце мы увеличили первое слагаемое на единицу, сумма при этом увеличилась тоже на единицу. Посмотрите все столбцы этой таблицы до конца и вы убедитесь, что когда одно из слагаемых увеличивается на несколько единиц, а второе слагаемое остаётся без изменения, то сумма увеличивается на столько единиц, на сколько увеличено первое слагаемое.

Вывод. Если какое-нибудь одно из двух слагаемых увеличим на несколько единиц, не изменяя другого, то сумма увеличится на столько же единиц.

В общем виде: если

а + b = с, то

(a + т) + b = с + m.

2.    Будем теперь уменьшать   слагаемое. Для этого возьмём предыдущую таблицу и будем рассматривать её справа налево.

В крайнем правом столбце слагаемые 41 и 32, а сумма 73. Начиная со второго столбца справа, мы уменьшаем первое слагаемое сначала на 6, потом на 5, потом на 4 и т. д. При этом сумма соответственно уменьшается на 6, на 5, на 4 и т. д.

Вывод. Если какое-нибудь одно из двух слагаемых уменьшим на несколько единиц, не изменяя другого, то сумма уменьшится на столько же единиц.

В общем виде: если

a + b = с, то

(а — т) + b = с — т.

Изложенные здесь два свойства суммы можно использовать для облегчения сложения. Пусть требуется быстро сложить 37 и 58. Будем рассуждать так: увеличим первое слагаемое до 40, т. е. прибавим к нему 3 единицы; числа 40 и 58 сложить легче, чем данные, потому что на первом месте стоит круглое число десятков (40). Но по первому свойству получившаяся сумма (98) больше искомой на столько, сколько мы прибавили к первому слагаемому, т. е. на 3 единицы. Значит, если мы от изменённой суммы отнимем прибавленные 3 единицы, то у нас получится искомая сумма двух слагаемых: 37 и 58, т. е. 95. Этим приёмом мы пользовались ещё в § 16.

§ 50. Изменение разности.

Возьмём разность двух чисел: 93 —35 = 58, и проследим, как она будет изменяться при изменении уменьшаемого и вычитаемого.

1.   Будем   увеличивать уменьшаемое,   оставляя вычитаемое без изменения.  Запишем эти изменения   в таблицу:

Уменьшаемое 93 94 96 99 103 108 114 121

Вычитаемое    35 35 35 35   35   35   35   35

Разность          58 59 61 64    68   73   79   86

Во втором столбце уменьшаемое увеличено на единицу, разность тоже увеличилась на единицу. В третьем столбце уменьшаемое увеличилось на 2, на столько же увеличилась и разность. Рассмотрите остальные столбцы сами.

Вывод. Если уменьшаемое увеличим на несколько единиц, не изменяя вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2.  Будем теперь уменьшать  уменьшаемое и представим результаты в виде следующей таблицы:

Уменьшаемое 93 92 90 87 83 78 72 65

Вычитаемое    35 35 35 35 35 35 35 35

Разность          58 57 55 52 48 43 37 30

Если мы будем последовательно столбец за столбцом просматривать эту таблицу, то обнаружим, что на сколько единиц мы уменьшали уменьшаемое, на столько же единиц всякий раз уменьшалась разность.

Вывод. Если уменьшаемое уменьшим на несколько единиц, не изменяя вычитаемого, то разность уменьшится на столько же единиц.

3.   Рассмотрим изменение вычитаемого. Как будет изменяться разность   при   увеличении   вычитаемого?   Возьмём хотя бы прежний пример вычитания и составим таблицу:

Уменьшаемое 93 93 93 93 93 93 93 93

Вычитаемое    35 36 38 41 45 50 56 63

Разность         58 57 55 52 48 43 37 30

Во втором столбце мы увеличили вычитаемое на единицу (было 35, стало 36). Разность при этом уменьшилась тоже на единицу. Подобное явление будет наблюдаться и во всех остальных столбцах.

Вывод. Если вычитаемое увеличим на несколько единиц, не изменяя уменьшаемого, то разность уменьшится на столько же единиц.

4.   Теперь рассмотрим  изменение разности при у меньшении вычитаемого. Возьмём разность двух  чисел:  93 —  35 = 58, и составим таблицу:

Уменьшаемое 93 93 93 93 93 93 93 93 93

Вычитаемое    35 34 32 29 25 20 14   7   0

Разность           58 59 61 64 68 73 79 86 93

При сравнении чисел первого столбца с числами второго столбца оказывается, что когда вычитаемое уменьшилось на единицу, разность увеличилась тоже на единицу. При сравнении чисел первого и пятого столбцов можно обнаружить, что с уменьшением вычитаемого на 10 единиц разность увеличивается тоже на 10 единиц. Подобное явление будет наблюдаться и при сравнении других столбцов.

Вывод. Если вычитаемое уменьшим на несколько единиц, не изменяя уменьшаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

5.   Рассмотрим, наконец, случай, когда уменьшаемое   и вычитаемое изменяются   одновременно.   Мы составим сразу две таблицы: в одной из них мы возьмём разность 10—7= 3, в другой разность 100 — 98 = 2. В первой таблице будет представлено увеличение уменьшаемого и вычитаемого,  а во второй — уменьшение их на одно и то же число:

I. Уменьшаемое 10 11 13 16 20 25 31 38 45 56

     Вычитаемое     7   8 10 13 17 22 28 35 43 53

     Разность           3    3   3   3   3   3   3  3   3   3

II. Уменьшаемое 100 98 95 93 83 71 57 41 23 2

     Вычитаемое     98 96 93 91 81 69 55 39 21 0

     Разность             2   2   2   2   2   2   2   2   2  2

Таблицы эти показывают, что несмотря на многочисленные изменения, которым подвергались в обоих случаях уменьшаемое и вычитаемое, разность ни разу не изменилась.

Вывод. Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличим или уменьшим на одно и то же число единиц, то разность не  изменится.

Мы изучили пять свойств, относящихся к изменению разности. Попробуем записать их в общем виде. Если мы запишем вычитание в виде равенства: а — b = с, то изложенные свойства можно будет записать так:

1.  (а + т) — b = с + т;             3. а — (b + т) = с — т;

2.  (а — т) — b = с — т;         4. а — (b — т) = с + т;

5. (а + т) — (b + т) = с      и       (а — т) — (b — т) = с.

Воспользуемся хотя бы последним свойством разности для ускорения вычислений. Пусть нужно сделать вычитание:

234 — 176.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 24, чтобы вычитаемое выразилось круглым числом сотен; тогда получим:

258 — 200 = 58.

Это действие можно выполнить в уме. Следовательно,

234 — 176 = 58.

§ 51.   Изменение произведения.

1. Возьмём произведение двух чисел: 4 х 36 = 144. Будем увеличивать в несколько раз первый сомножитель. Представим результаты этого изменения в виде таблицы:

Первый сомножитель 4     8       12    16      20     24        28        32

Второй сомножитель 36  36       36    36      36     36        36        36

Произведение          144  288    432   576   720   864    1008    1152

Если мы сравним первый столбец со вторым, то увидим, что первый сомножитель во втором столбце в 2 раза больше, чем в первом, соответственно и произведение второго столбца (288) в 2 раза больше, чем произведение первого столбца (144).

Проследите, как изменяется произведение при увеличении одного из сомножителей в остальных столбцах.

Вывод. Если один из сомножителей увеличим в несколько раз, не изменяя другого, то и произведение увеличится во столько же раз.

В  общем виде:

если                ab = с,           то            (am) b = ст.

2. Как будет изменяться произведение при уменьшении в несколько раз одного сомножителя и при сохранении другого неизменным? Мы воспользуемся прежним примером, но будем рассматривать таблицу справа налево.

Рассмотрение таблицы показывает, что когда первый сомножитель уменьшился вдвое (32 : 2 = 16), то и произведение уменьшилось вдвое (1 152 : 2 = 576); когда он уменьшился в 8 раз (32 : 8 = 4), то и произведение уменьшилось в 8 раз (1 152 : 8 = = 144).

Вывод. Если один из сомножителей уменьшим в несколько раз, не изменяя другого, то и произведение уменьшится во столько же раз.

В общем виде:

если          ab = с,     то       (а : т) b = с : т.

Как можно применить первое правило в практике вычислений?

П р и м е р.     82 х 5.    Увеличим множитель 5 в 2 раза; получим 82 x 10 = 820. Умножение на 10 сводится к приписыванию одного нуля, но полученное произведение в 2 раза больше, чем нужно; поэтому его нужно разделить на 2   (820 : 2 = 410). Перепишем подряд все выполненные нами действия:

82 x 5 = ?;     82 х 10 = 820;   820 : 2 = 410;   82 х 5 = 410.

Таким образом, умножение числа на 5 можно производить следующим образом: сначала умножить его на 10, а полученный результат разделить на 2.

§ 52. Изменение частного.

1. Возьмём частное от деления 12 на 3, будем постепенно увеличивать делимое вдвое, втрое, вчетверо и т. д. Результаты изменения представим в виде таблицы:

Делимое       12   24   36   48   60   72   84   96    108    120

Делитель        3      3    3     3     3     3     3     3        3        3

Частное          4     8   12   16    20   24   28   32      36     40    

При сравнении второго столбца с первым   оказывается,  что делимое во втором столбце вдвое больше, чем впервом   (24 = 2 х 12), в то же самое время и частное второго столбца вдвое больше частного первого столбца. Сравните остальные столбцы.

Вывод. Если делимое увеличим в несколько раз, не изменяя делителя, то частное увеличится во столько же раз.

2.   Будем теперь   уменьшать    делимое   в несколько раз. Возьмём исходное равенство 360 : 2 = 180 и составим таблицу:

Делимое 360 180 120  90  72   60   40    36   18   10

Делитель    2     2     2    2    2     2     2      2      2     2

Частное  180   90   60  45   36   30   20    18     9     5

Здесь делимое постепенно уменьшается в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза, в 5 раз и т. д. Частное уменьшается соответственно в 2 раза, в 3 раза и т.  д.

Вывод. Если делимое уменьшим в несколько раз, не изменяя делителя, то частное уменьшится во столько же раз.

3.   Рассмотрим теперь изменение частного в зависимости от изменения делителя. Составим соответствующую таблицу, начав её с деления: 240 : 2 =120. Будем   увеличивать   делитель   в несколько раз:

Делимое 240    240   240   240   240   240   240   240   240

Делитель    2       4       6       8      10     12     16     20     24

Частное   120     60     40     30     24     20     15     12      10

Во втором столбце делитель увеличился вдвое, но вместе с тем частное уменьшилось точно так же вдвое (было   120,  стало 60).

К тому же выводу придём, сравнивая делители отдельных столбцов и частные этих столбцов.

Вывод. Если делитель увеличим в несколько раз, не изменяя делимого, то частное уменьшится во столько же раз.

4.   Будем теперь уменьшать делитель. Как изменится частное при уменьшении делителя в несколько раз?  Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим таблицу, которая   начинается с деления числа 400 на 100:

Делимое 400 400 400 400 400 400   400   400   400

Делитель 100   50  25   20   10      5      4       2       1

Частное       4     8  16   20    40   80   100   200   400

Из таблицы видно, что когда делитель уменьшился в 2 раза (второй столбец), частное увеличилось в 2 раза. Когда делитель в третьем столбце уменьшился в 4 раза по сравнению с первым столбцом, то частное увеличилось в 4 раза.

Вывод. Если делитель уменьшим в несколько раз, не изменяя делимого, то частное увеличится во столько же раз.

5. Перейдём теперь к рассмотрению одновременного изменения делимого и делителя. Этот наиболее интересный и важный случай мы будем сразу рассматривать на двух таблицах. В I таблице будет представлено одновременное увеличение делимого и делителя, а во II таблице — их одновременное уменьшение в одно и то же число раз.

I. Делимое 3   6    9   12   15   18   21   24   27   30

Делитель   1   2    3     4     5     6     7      8    9    10

Частное      3   3   3     3     3     3     3      3    3       3

II. Делимое 1800 900 450 300 150  75 60 45 30 15

     Делитель 600 300 150  100   50  25 20 15 10   5

Частное             3    3     3      3     3     3   3   3   3   3

В таблице I делимое и делитель увеличиваются последовательно в 2 раза, в 3 раза и, наконец, в 10 раз. Вы видите, что такое изменение нисколько не отражается на частном. Частное во всех случаях продолжает оставаться равным 3.

Во II таблице показано одновременное уменьшение делимого и делителя в одно и то же число раз.

Вывод. Если делимое и делитель одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз,   то частное не изменится.

Изложенные в этом параграфе пять свойств частного запишем в общем виде. Если дано деление: а : b = с, то указанные свойства примут вид:

1.   (а • т) : b = с • т;                 3. а : (b • т) = с : т;

2.  (а : т) : b = с : т;                  4. а : (b : т) = с • т;

5. (а • т) : (b • т) = с          и      (а : т): (b : т) = с.

Последним свойством частного постоянно пользуются в практических вычислениях, когда деление выполняется «нацело». Если нужно разделить 60 на 20, то можно предварительно отбросить по нулю в делимом и в делителе, что равносильно уменьшению делимого и делителя в 10 раз, и потом разделить 6 на 2.