|
Часть первая ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Глава пятая. Величины и их измерение. § 53. Предварительные разъяснения. § 53. Предварительные разъяснения. Рассмотрим задачу: «Поезд вышел со станции A в 12 час. и прибыл на станцию В в 17 час. Найти расстояние между станциями А и В, если средняя скорость поезда 40 км в час». Поезд находился в пути 5 час. Если в 1 час поезд проходил 40 км, то в 5 час. он пройдёт в 5 раз больше: значит: 40 х 5 = 200 (км). Подумаем, с какими числами мы имели дело в этой задаче. В о-п е р в ы х, в задаче было указано время, в течение которого поезд прошёл путь от А до В (5 час). Во-вторых, была дана скорость движения поезда. В-третьих, по данным в задаче числам мы вычислили расстояние между станциями А и В. Вместо слова «расстояние» можно сказать, что мы вычислили длину пути между станциями А и В. Теперь рассмотрим ещё одну задачу и потом снова подумаем, с какими числами мы в ней встретились. «Купили 120 кг печенья по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно уплатить за эту покупку?» Цена 1 кг печенья 10 руб., а куплено печенья всего 120 кг. Значит, стоимость всей покупки можно найти путём умножения 10 на 120, рассуждая так: если 1 кг печенья стоит 10руб., то 120кг будут стоить в 120 раз дороже. Значит, 10 х 120 = 1 200 (руб). Какие числа нам здесь встретились и есть ли в этой задаче что-нибудь новое по сравнению с первой задачей? — Да. Прежде всего мы можем сказать, что в этой задаче совсем иное содержание. В первой задаче речь шла о равномерном движении поезда между двумя станциями, а во второй задаче — о покупке печенья. Во второй задаче указывается вес сделанной покупки в килограммах (120 кг), затем цена 1 кг печенья (10 руб.), а вычислили мы стоимость всего печенья. Теперь сделаем выводы из рассмотрения этих двух задач. Числа, встречавшиеся в этих задачах, обозначали: длину пройденного пути, Длина, время, скорость, вес, стоимость, цена являются величинами. Под величиной разумеется всё то, что может быть измерено и выражено числом. Величин существует гораздо больше, чем мы указали. Мы назвали пока только те, которые встретились нам в двух задачах. В самом начале этой книги мы рассмотрели две важнейшие величины: длину и вес, и рассказали о единицах измерения этих величин. Теперь мы рассмотрим ещё следующие величины: площадь, объём, время, температуру и стоимость. Весьма важной в практическом отношении величиной является площадь фигуры. Мы очень часто говорим об измерении площади комнаты, двора, сада, земельного участка, озера и т. д. В этой главе мы будем говорить исключительно о площади фигуры, которая называется прямоугольником. С формой прямоугольника мы встречаемся постоянно. Достаточно сказать, что лист бумаги, страница книги, потолок, стена, окно, дверь и множество других предметов имеют форму прямоугольников (рис. 3).
Прямоугольник, у которого длина и ширина равны между собой, называется квадратом. Как же измеряется площадь прямоугольника? Что нужно сделать для того, чтобы измерить площадь прямоугольника? Прежде всего нужно установить единицу измерения площади. За единицу измерения площади берут площадь квадрата, сторона которого равна какой-нибудь единице длины. Если сторона такого квадрата равна сантиметру, то его площадь называется квадратным сантиметром (рис. 4); если его сторона равна метру, то его площадь называется квадратным метром, и т. д. Имея единицу измерения, мы можем вычислить площадь прямоугольника на основании известного нам следующего правила. Чтобы вычислить площадь прямоугольника, надо измерить одной и той же единицей измерения его длину и ширину и полученные числа перемножить. Произведение укажет, сколько квадратных единиц содержится в площади прямоугольника. Например: если длина 5 см, ширина 3 см, то площадь: 5 х 3=15 (кв. см). Как связаны между собой различные единицы измерения площадей? В метрической системе высшая квадратная единица в 100 раз больше соседней с ней низшей единицы. На этом основании мы можем составить такую таблицу квадратных мер: 1кв. км =100 кв. гм; 1кв. м =100 кв. дм; 1 кв. гм = 100 кв. дкм; 1 кв. дм = 100 кв. см; 1 кв. дкм = 100 кв. м; 1 кв. см =100 кв. мм. Следует запомнить, что квадратный декаметр, т. е. квадрат, сторона которого равна 10 м, называется аром. Значит, ар содержит 100 кв. м. Квадратный гектометр, представляющий собой площадь квадрата со стороной 100 м, иначе называется гектаром. Таким образом, гектар равен 100 арам, или 10 000 кв. м. 1 га = 100 а = 10 000 кв. м. Не только в науке, но и в жизненной практике весьма часто приходится измерять объёмы различных предметов и строений, например комнаты, склада, ямы и т. д. В этой книге мы рассмотрим только такие предметы, которые имеют форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 5).
Моделью параллелепипеда может служить спичечная коробка. Прямоугольный параллелепипед, у которого длина, ширина и высота равны между собой, называется кубом. Как измеряется объём прямоугольного параллелепипеда? Для этого прежде всего нужно установить единицу измерения. За единицу измерения объёма принимается объём куба, сторона которого равна какой-нибудь единице длины. Если длина ребра куба равна сантиметру, то объём такого куба называется кубическим сантиметром (рис. 6); если ребро равно метру, то объём куба называется кубическим метром; если — дециметру, — кубическим дециметром, и т. д. Имея единицу измерения, мы можем вычислить объём прямоугольного параллелепипеда на основании следующего правила. Чтобы вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, надо измерить одной и той же единицей измерения его длину, ширину и высоту и полученные числа перемножить. Произведение укажет, сколько кубических единиц содержится в объёме прямоугольного параллелепипеда. Например: если длина 5 см, ширина 4 см, высота 6 см, то объём , 5 х 4 х 6 = 120 (куб. см). Как связаны между собой различные единицы измерения объёмов? В метрической системе каждая высшая кубическая единица в 1 000 раз больше соседней с ней низшей единицы. На этом основании можно составить следующую таблицу: 1 куб. км = 1 000 куб. гм; 1 куб. м = 1 000 куб. дм; 1 куб. гм = 1 000 куб. дкм; 1 куб. дм = 1 000 куб. см; 1 куб. дкм = 1 000 куб. м; 1 куб. см = 1 000 куб. мм. В параграфе 8 мы говорили о мерах веса, но не объяснили, как эти меры были установлены. Сделаем это теперь. При установлении одной из основных единиц измерения веса— килограмма хотели сделать так, чтобы 1 кг был равен весу одного кубического дециметра очищенной воды при температуре 4° Цельсия. Тогда 1 г был бы равен весу одного кубического сантиметра такой же воды. Измерения, сделанные в конце XVIII века, не были достаточно точными; поэтому килограммом и граммом называют не веса соответствующих объёмов воды, а те гири, которые в то время были изготовлены. С этих гирь и сделаны были многочисленные копии. Ошибка, которая тогда была допущена, весьма мала; поэтому в повседневной жизненной практике можно считать, что 1 куб. дм чистой воды весит 1 кг, а 1 куб. см такой воды весит 1 г. Кубический дециметр принято называть литром. Литр обычно употребляется для измерения объёмов жидкостей — молока, керосина и др. Время есть величина, с которой мы постоянно встречаемся в своей жизненной практике и почти во всех научных измерениях. Уже в глубокой древности люди имели представление о времени и старались измерять его различными способами. Какими же единицами измеряется время? Единица измерения времени заимствована из природы и называется годом. Год представляет собой приблизительно то время, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Вторая единица измерения времени называется сутками. Сутки представляют собой то время, в течение которого Земля совершает полный оборот около своей оси. Между этими двумя единицами измерения существует такая связь: простой год содержит 365 суток, а високосный год — 366 суток. Сутки делят на 24 часа; час содержит 60 минут; минута содержит 60 секунд. Температура является одной из важных величин. Мы часто говорим о температуре воздуха, воды и даже человеческого тела. Для измерения температуры пользуются термометрами. В практике обычно встречаются ртутные термометры. Их устройство основано на свойстве ртути расширяться от нагревания. Ртутный термометр состоит из тонкой стеклянной закрытой трубки с шариком на нижнем конце. Шарик и часть трубки заполнены ртутью. На трубке или на прикреплённой к ней деревянной линейке наносятся равномерные деления. Среди этих делений есть две основные точки: одна точка обозначена нулём (0) и соответствует она температуре таяния чистого льда; другая точка обозначена числом 100, она соответствует температуре кипения чистой воды. Промежуток между ними разделён на 100 равных частей, каждая из которых называется градусом. Термометры такого типа называются термометрами Цельсия, по имени шведского учёного Андерса Цельсия (1701—1744). Эти термометры применяются в научных и практических измерениях. Стоимость предметов мы выражаем в денежных единицах. Основной денежной единицей у нас является рубль, который содержит 100 копеек. Деньги бывают металлические и бумажные. Мелкие расчёты производятся с помощью мельхиоровых и бронзовых монет. Мельхиоровые монеты бывают следующего достоинства: 20 копеек; 15 копеек; 10 копеек. Бронзовые монеты бывают следующего достоинства: 5 копеек; 3 копейки; 2 копейки; 1 копейка. Бумажные деньги, носящие название билетов Государственного банка, бывают следующего достоинства: 100 рублей; 50 рублей; 25 рублей; 10 рублей. Бумажные деньги с надписью «Государственный казначейский билет» бывают следующего достоинства: 5 рублей; 3 рубля; 1 рубль. § 59. Наглядное изображение величин. При решении различных практических задач часто приходится сравнивать рассматриваемые предметы по их величине. Для этой цели мы измеряем каждый предмет, результат измерения выражаем числом и потом сравниваем полученные числа. Более наглядное представление о сравнительной величине предметов даёт чертёж. Рассмотрим пример. Школьник измерил расстояние от своего дома до различных мест: до школы было 1 км, до библиотеки 2 км, до реки 3 км, до леса 5 км, до соседнего села 9 км. Он записал эти расстояния в записную книжку, а затем в уменьшенном виде изобразил их на чертеже. На чертеже он изображал 1 км отрезком в 1 см. Вот что у него получилось (рис. 7).
Разберитесь в этом чертеже и сделайте такой же чертёж в своей тетради. Узнайте расстояния от вашего дома до школы и до тех мест, куда вам приходится часто ходить или ездить, и изобразите эти расстояния на бумаге. Чертёж, с которым вы встретились в этом примере, называется диаграммой. Изображённая здесь диаграмма называется линейной, потому что для её построения мы пользовались прямыми линиями. Можно придавать диаграммам и другой вид. Рассмотрим диаграмму, изображающую добычу каменного угля на шести шахтах (рис. 8}. Пусть эта добыча выражается следующими числами; 66 Шахта № 1 — 15 000 т Шахта № 4 — 28 000 т » № 2 — 12 000 т » № 5 — 21 000 т » № 3 — 25 000 т » № 6 — 19 000 т
Здесь количество угля, добытого каждой шахтой, изображено в форме прямоугольника. Наименьшему количеству угля соответствует самый маленький прямоугольник, а наибольшему — самый большой. Такие диаграммы называются прямоугольными или столбчатыми. В газетах, журналах и книгах можно встретить диаграммы, самые разнообразные по своему внешнему виду. Иногда в диаграммах изображают форму того предмета, который рассматривается в данной задаче. |
