|
Часть первая ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА. Глава восьмая. Простые множители. Делители и кратные. § 72. Числа простые и составные. § 72. Числа простые и составные. Возьмём несколько чисел и посмотрим, на какие числа делится каждое из них. 5 делится на 1 и на 5; 6 » » 1, на 2, на 3 и на 6; 9 » » 1, на 3 и на 9; 11 » » 1 и на 11; 12 » » 1, на 2, на 3, на 4, на 6 и на 12. Мы видим, что эти числа отличаются одно от другого числом делителей. У числа 12 оказалось наибольшее число делителей (6), а у чисел 5 и 11 — наименьшее, именно у каждого из них только два делителя: 1 и само это число. Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым. Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но ещё и на другие числа, называется составным. Примечание. Число 1 (единица) не причисляется ни к простым, ни к составным числам. В пределах первой сотни, т. е. от 1 до 100, насчитывается 25 простых чисел, а именно: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97. На первый взгляд может показаться, что простых чисел довольно много только в начале натурального ряда, т. е. пока числа сравнительно не велики, и что с увеличением чисел простые числа станут постепенно редеть и, наконец, совсем исчезнут. Но тaкоe предположение неверно, в действительности существует бесчисленное множество простых чисел. Как узнать, будет ли какое•нибудь число простым или составным? Чтобы решить этот вопрос, берут данное число и делят его последовательно на простые числа, начиная с числа 2. В настоящее время составлены таблицы простых чисел, простирающиеся до миллионов. Мы даём здесь таблицу простых чисел в пределах двух первых сотен. Таких чисел всего 46. Мы расположили их так, что в каждой строке стоят простые числа одного десятка. Значит, в первой строке имеются простые числа только первого десятка, во второй строке — только второго и т. д.
Советуем рассмотреть эту таблицу, обратив особое внимание на то, что не существует простых чисел, оканчивающихся на 4, 6, 8, 0, и что среди простых чисел, оканчивающихся на 2, имеется только одно число — это само 2, и из оканчивающихся на 5 — одно число, т. е. 5. Следовательно, кроме 2 и 5, все остальные простые числа оканчиваются на 1,3, 7, 9. Предостерегаем от возможной ошибки: нельзя считать, что числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7,9, обязательно будут простыми, например числа 21, 33, 27, 39 и многие другие — составные. Составлением таблиц простых чисел занимались математики ещё в глубокой древности. Первая попытка такого рода приписывается александрийскому математику и географу Эратосфену (жил в III веке до н. э.). Способ Эратосфена состоит в том, что из ряда натуральных чисел постепенно вычёркиваются все составные числа. Такой способ составления таблицы простых чисел получил название «решета Эратосфена». § 73. Разложение чисел на простые множители. Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел. Покажем это сначала на небольших числах. Число 4 делится на 2 и даёт в частном 2. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать: 4 = 2•2. Число 6 делится на 2 и даёт в частном 3, поэтому можно написать: 6 = 2•3. Возьмём ещё пример: 8 = 2•2•2. Здесь оказалось 3 простых множителя (три двойки). Произошло это следующим образом. Сначала мы разделили 8 на 2 и получили в частном 4, но так как 4 тоже есть составное число, то мы и его представили в виде произведения двух двоек. Этот процесс можно записать так: 8 = 2•4 = 2•2•2. Приведём ещё несколько примеров без объяснений: 9 = 3•3; 10 = 2•5; 15 = 3 • 5; 16 = 2 •2 • 2 • 2. Мы брали составные числа и каждое из них представляли в виде произведения простых чисел. Такое преобразование числа называется разложением на простые множители. Таким образом, разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Составное число разлагается на простые множители единственным образом. Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д. Это удобнее потому, что о делимости числа на 2, на 3, на 5 легче судить, чем о делимости его, например, на 37 или 53. Как же выполняется разложение на множители? Возьмём число 24 и разложим его на множители. Начнём с наименьшего делителя; число 24 делится на 2 и даёт в частном 12; в свою очередь 12 делится на 2 и даёт в частном 6; далее, число 6 делится снова на 2 и даёт в частном простое число 3. Значит, разложение представится в таком виде: 24 = 2 • 2 • 2 • 3. При выполнении разложения нужно рассуждать следующем образом: 24 равняется двум (пишем 2), умноженным на 12 (12 не пишем, а держим в уме); 12 равняется двум (пишем 2), умноженным на 6 (6 помним); 6 равняется двум, умноженным на 3 (пишем 2 и 3). Разложение больших чисел по существу ничем не отличается от разложения малых. Разложим на простые множители число 100: 100 = 2 • 2 • 5 • 5. В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая разложение больших чисел: она состоит в том, что пишутся не только делители, но и частные, а сами множители располагаются не в строку, а в столбик. Разложим, например, на простые множители число 1 260.
Дадим ещё несколько образцов разложения «в столбик» больших чисел:
После разложения «в столбик» следует множители выписать в строчку, например: 5 390 = 2 • 5 • 7 • 7 • 11, В некоторых случаях в целях облегчения можно предварительно разложить большое число на какие•нибудь удобные множители, которые легко обнаруживаются. Например, число 3 600 можно сначала разложить так: 3 600 = 36 • 100, а затем отдельно разложить 36 и 100, т. е. 36 = 2 • 2 • 3 • 3; 100 = 2 • 2 • 5 • 5. Следовательно, 3 600 = 2•2•3•3 • 2•2•5•5 = 2•2•2•2•3•3•5•5. Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания. Вы, конечно, заметили, что удобно выделять множитель, оканчивающийся нулями. В связи с этим полезно запомнить, как разлагаются на множители числа, изображаемые единицей с нулями. Все такие числа разлагаются только на двойки и пятёрки, причём двоек и пятёрок получается поровну, т. е. сколько двоек, столько и пятёрок. Например: 10 = 2 • 5, Так как двоек или пятёрок столько, сколько число имеет нулей, то эти разложения легко запоминаются. § 74. Краткая запись разложения на множители. Из приведённых примеров разложения чисел на простые множители видно, что каждое число имеет свой собственный и вполне определённый состав множителей. Если среди множителей числа есть равные, то можно пользоваться очень удобной сокращённой формой записи. Разложим на простые множители два числа, 30 и 32: 30 = 2 • 3 • 5, 32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2. Множители первого числа все различны, множители второго все одинаковы. В первом случае нет возможности короче записать разложение, а во втором случае такая возможность есть: повторяющийся множитель пишется один раз, а число, показывающее, сколько раз он повторяется, пишется сверху, справа от него, мелкими цифрами: 32 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25. Покажем ещё пример. Разложим на простые множители число 729: 729 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 36. В конце предыдущего параграфа мы показали разложение на простые множители чисел, изображаемых единицей с нулями. Теперь мы можем такие разложения написать короче: 10 = 2 • 5; 10 000 = 24 • 54; 100 = 22• 52; 100 000 = 25 • 55; 1 000 = 23 • 53; 1 000 000 = 26 • 56. Как следует читать подобные записи? Возьмём число 625 и разложим его на простые множители: 625 = 5 • 5 • 5 • 5, или 625 = 54. Смысл последнего равенства состоит в том, что в разложение на простые множители числа 625 множитель 5 входит 4 раза, или, иными словами, число 625 разлагается на четыре пятёрки. Запись 54 читают так: пять в четвёртой степени. Запомните, что 102 читается: 10 во второй степени; 93 » 9 в третьей степени; 84 » 8 в четвёртой степени. Конечно, нужно не только уметь читать то, что здесь написано, но и знать, сколько получается в каждом отдельном случае. Сделаем вычисление: 102 = 10 • 10 = 100. Это равенство можно записать в обратном порядке, т. е. справа налево: 100 = 102. Выполним остальные вычисления: 93 = 9 • 9 • 9 = 729, отсюда: 729 = 93; 84 = 8•8•8•8 = 4 096, отсюда: 4 096 = 84. Таким образом, здесь наметились две задачи. Первая состоит в том, чтобы, имея некоторое число, разложить его на простые множители, т. е. представить в виде произведения простых чисел. Например, разложить 720 на простые множители: 720 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 24 • 32 • 5. Вторая задача, обратная первой, состоит в том, чтобы по данному разложению какого•то числа на простые множители восстановить это число. Например, даётся разложение 23• 32•52•7. Выясним, какое число представляет это разложение. Для этого выполним указанные действия: 23• 32•52•7 = 2•2•2•3•3•5•5•7 = 8•9•25•7 = 12 600. Вместо того чтобы писать 10•10•10•10•10, можно, как вы знаете, написать 105 и читать эту запись так: 10 в пятой степени. В этой записи всего два числа: 10 и 5. Первое из них (10) в таком случае называется основанием степени, а второе (5) — показателем степени. Само же произведение одинаковых сомножителей называется степенью. Значит, в данном случае степень будет равна 100 000, потому что 105 = 100 000. Значит, если мы напишем 210 = 1 024, то здесь 2 будет основанием степени, 10 — показателем степени и число 1 024 будет степенью. § 75. Наибольший общий делитель. Возьмём три числа: 60, 90 и 120. Каждое из них делится на 30. Значит число 30 есть делитель каждого из них. Принято говорить, что число 30 есть общий делитель чисел: 60, 90 и 120. В дальнейшем нам часто придётся искать общий делитель для двух, трёх и т. д. чисел. Запомним, что общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Заметим, что у некоторых чисел может вовсе не быть общих делителей, кроме единицы, а у иных их может быть несколько. Например, числа 27 и 32 не имеют общих делителей, кроме 1; числа 25 и 35 имеют общие делители: 1 и 5; числа 42 и 105 имеют общие делители: 1, 3, 7 и 21; числа 21, 35 и 49 имеют общие делители: 1 и 7. Числа, не имеющие общих делителей (кроме единицы), называются взаимно простыми. Возьмём два числа: 60 и 75, и посмотрим, какие у них общие делители. Число 60 делится на 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30; число 75 делится на 1, 3, 5, 15, 25. Значит у этих чисел только четыре общих делителя, это 1, 3, 5 и 15. Наибольший из этих общих делителей есть число 15, которое и называется наибольшим общим делителем чисел 60 и 75. Наибольшим общим делителем нескольких чисел называется самое большое число, на которое делятся все эти числа. Выше мы указали, какие числа называются взаимно простыми; теперь ту же мысль мы выразим иначе. Два числа, у которых наибольший общий делитель есть единица, называются взаимно простыми. Как найти наибольший общий делитель нескольких чисел? Возьмём сначала два числа: 63 и 84, и найдём их наибольший общий делитель. Разложим эти числа на простые множители: 63 = 3•3•7; 84 = 2•2•3•7. Чтобы оба эти числа делились на некоторое третье число, необходимо, чтобы в это последнее входили множители, общие двум данным числам; наибольший общий делитель получится от перемножения всех простых общих множителей. Общими множителями у данных чисел являются 3 и 7. Значит, наибольший общий делитель этих чисел (63 и 84) будет 21. Сокращённо это записывают так: НОД (63 и 84) = 21. Рассмотрим ещё один пример. Найдём наибольший общий; делитель трёх чисел: 420, 630 и 1 260. Разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Выпишем множители, общие этим трём числам. Число 2 входит общим множителем во все три данные числа, но только один раз; второй раз множитель 2 входит в первое и третье число, но не входит в 630. Число 3 один раз входит во все данные числа, но второй раз входит только в последние два числа. Числа 5 и 7 входят множителями во все данные числа. Значит, общими множителями являются следующие: 2, 3, 5, 7. Их произведение, т. е. 210, и будет наибольшим общим делителем данных чисел. Отсюда вытекает правило: Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители и, взяв множители, общие всем числам, перемножить их между собой. § 76. Наименьшее общее кратное. Мы говорили в своё время (§ 64), что если одно число без остатка делится на другое, то первое называется кратным второго, а второе — делителем первого. Число 60, делящееся на 15, называется кратным 15-ти, а 15 — делителем 60-ти. Hо число 60 делится не только на 15, но и на некоторые другие числа, например на 20, на 30 и т. д. Значит, мы имеем право говорить, что 60 кратно не только 15, но и 20, и 30. Для каждого числа существует бесконечное множество кратных. Например, для числа 7 кратными являются: 14, 21, 35, 70, 77 и т. д. Для двух или нескольких чисел тоже существует множество кратных. Например, для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240, 300 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20. Общим кратным данных чисел называется всякое число, которое делится на каждое из данных чисел. Из всех общих кратных особый интерес представляет наименьшее общее кратное. Наименьшим общим кратным нескольких данных чисел называется самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, для чисел 10 и 15 наименьшим общим кратным (сокращённо НОК) будет число 30; для чисел 12 и 18 таковым будет число 36; для чисел 10, 15 и 20 — очевидно, число 60. Пусть требуется найти наименьшее общее кратное чисел 90, 60 и 50. Разложим предварительно эти числа на простые множители: 90 = 2 • 3 • 3 • 5, 60 = 2 • 2 • 3 • 5, 50 = 2 • 5 • 5. Наименьшее общее кратное должно делиться на 90, значит, в состав его должны входить все множители числа 90. Далее, наименьшее кратное должно делиться и на 60, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа, наконец, одновременно с этим оно должно делиться и на последнее число —50, следовательно, оно должно содержать множители и этого последнего числа. Учитывая все эти обстоятельства, поступим так: выпишем сначала все множители первого числа (90), а затем, чтобы обеспечить делимость искомого кратного на остальные числа, добавим к написанным множителям из других чисел те множители, которых недостаёт в разложении числа 90. Получим следующее: НОК (90, 60, 50) = 2 • 3 • 3 • 5 . 2 . 5 = 900. Отсюда получаем правило: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел надо разложить эти числа на простые множители, затем взяв разложение одного из них, приписать к нему недостающие простые множители из разложений других чисел и перемножить их между собой. Если большее из данных чисел делится на все остальные, то оно и будет наименьшим кратным для этих чисел. Например, наименьшим общим кратным чисел 120, 60 и 40 будет 120. Если никакая пара данных чисел не имеет общих множителей, то для нахождения наименьшего общего кратного данных чисел их нужно перемножить. Например, наименьшее общее кратное чисел 11, 14 и 15 равно их произведению, т. е. НОК (11, 14, 15) = 11 • 14 • 15 = 2 310.
|
