|
Часть четвёртая. ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИН Глава двадцатая. Пропорциональные величины. § 129. Предварительные разъяснения § 129. Предварительные разъяснения. Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. Служащий и рабочий стараются к определённому времени попасть на службу, на работу, пешеход спешит дойти до известного места кратчайшим путём, истопник парового отопления беспокоится о том, что температура в котле медленно поднимается, хозяйственник строит планы снижения стоимости продукции и т. д. Таких примеров можно было бы привести сколько угодно. Время, расстояние, температура, стоимость — всё это разнообразные величины. В первой и во второй частях настоящей книги мы ознакомились с некоторыми особенно часто встречающимися величинами: площадью, объёмом, весом. Со многими величинами мы встречаемся при изучении физики и других наук. Представьте себе, что вы едете в поезде. Время от времени вы смотрите на часы и замечаете, как долго вы уже находитесь в пути. Вы говорите, например, что со времени отправления вашего поезда прошло 2, 3, 5, 10, 15 часов и т. д. Эти числа обозначают различные промежутки времени; они называются значениями этой величины (времени). Или вы смотрите в окно и следите по дорожным столбам за расстоянием, которое проходит ваш поезд. Перед вами мелькают числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Эти числа обозначают различные расстояния, которые прошёл поезд от места отправления. Они тоже называются значениями, на этот раз другой величины (пути или расстояния между двумя пунктами). Таким образом, одна величина, например время, расстояние, температура, может принимать сколько угодно различных значений. Обратите внимание на то, что человек почти никогда не рассматривает только одну величину, а всегда с в я з ы в а е т её с какими-нибудь другими величинами. Ему приходится одновременно иметь дело с двумя, тремя и большим числом величин. Представьте себе, что вам нужно к 9 часам попасть в школу. Вы смотрите на часы и видите, что в вашем распоряжении 20 минут. Тогда вы быстро соображаете, стоит ли вам садиться в трамвай или вы успеете дойти до школы пешком. Подумав, вы решаете идти пешком. Заметьте, что в то время, когда вы думали, вы решали некоторую задачу. Эта задача стала простой и привычной, так как вы решаете такие задачи каждый день. В ней вы быстро сопоставили несколько величин. Именно вы посмотрели на часы, значит, учли время, затем вы мысленно представили себе р а с с т о я н и е от вашего дома до школы; наконец, вы сравнили две величины: скорость вашего шага и скорость трамвая, и сделали вывод, что за данное время (20 мин.) вы успеете дойти пешком. Из этого простого примера вы видите, что в нашей практике некоторые величины связаны между собой, т. е. зависят друг от друга В главе двенадцатой было рассказано об отношении однородных величин. Например, если один отрезок равен 12 м, а другой 4 м, то отношение этих отрезков будет 12 : 4. Мы говорили, что это есть отношение двух однородных величин. Можно сказать иначе, что это есть отношение двух чисел одного наименования. Теперь, когда мы больше познакомились с величинами и ввели понятие значения величины, можно по-новому высказать определение отношения. В самом деле, когда мы рассматривали два отрезка 12 м и 4 м, то мы говорили об одной величине — длине, а 12 м и 4 м — это были только два разных значения этой величины. Поэтому в дальнейшем, когда мы станем говорить об отношении, то будем рассматривать при этом два значения одной какой-нибудь величины, а отношением одного значения величины к другому значению той же величины будем называть частное от деления первого значения на второе. § 130. Величины прямо пропорциональные. Рассмотрим задачу, в условие которой входят две величины: расстояние и время. Задача 1. Тело, движущееся прямолинейно и равномерно, проходит в каждую секунду 12 см. Определить путь, пройденный телом в 2, 3, 4, ..., 10 секунд. Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением времени и расстояния.
Таблица даёт нам возможность сопоставить эти два ряда значений. Мы видим из неё, что когда значения первой величины (времени) постепенно увеличиваются в 2, 3, ..., 10 раз, то и значения второй величины (расстояния) тоже увеличиваются в 2, 3,..., 10 раз. Таким образом, при увеличении значений одной величины в несколько раз значения другой величины увеличиваются во столько же раз, а при уменьшении значений одной величины в несколько раз значения другой величины уменьшаются во столько же раз. Рассмотрим теперь задачу, в которую входят две такие величины: количество материи и стоимость её. Задача 2. 15 м ткани стоят 120 руб. Вычислить стоимость этой ткани для нескольких других количеств метров, указанных в таблице.
По этой таблице мы можем проследить, каким образом постепенно возрастает стоимость товара в зависимости от увеличения его количества. Несмотря на то что в этой задаче фигурируют совсем другие величины (в первой задаче — время и расстояние, а здесь — количество товара и его стоимость), тем не менее в поведении этих величин можно обнаружить большое сходство. В самом деле, в верхней строке таблицы идут числа, обозначающие число метров ткани, под каждым из них написано число, выражающее стоимость соответствующего количества товара. Даже при беглом взгляде на эту таблицу видно, что числа и в верхнем и в нижнем ряду возрастают; при более же внимательном рассмотрении таблицы и при сравнении отдельных столбцов обнаруживается, что во всех случаях значения второй величины возрастают во столько же раз, во сколько возрастают значения первой, т. е. если значение первой величины возросло, положим, в 10 раз, то и значение второй величины увеличилось тоже в 10 раз. Если мы станем просматривать таблицу справа налево, то обнаружим, что указанные значения величин будут уменьшаться в одинаковое число раз. В этом смысле между первой задачей и второй имеется безусловное сходство. Пары величин, с которыми мы встретились в первой и второй задачах, называются прямо пропорциональными. Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными. О таких величинах говорят также, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью. В природе и в окружающей нас жизни встречается множество подобных величин. Приведём примеры: 1. Время работы (день, два дня, три дня и т. д.) и заработок, полученный за это время при подённой оплате труда. 2. Объём какого-нибудь предмета, сделанного из однородного материала, и вес этого предмета. § 131. Свойство прямо пропорциональных величин. Возьмём задачу, в которую входят следующие две величины: рабочее время и заработок. Если ежедневный заработок 20 руб., то заработок за 2 дня будет 40 руб., и т. д. Удобнее всего составить таблицу, в которой определённому числу дней будет соответствовать определённый заработок.
Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли 10 различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённое значение второй величины, например 2 дням соответствуют 40 руб.; 5 дням соответствуют 100 руб. В таблице эти числа написаны одно под другим. Мы уже знаем, что если две величины прямо пропорциональны, то каждая из них в процессе своего изменения увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличивается и другая. Отсюда сразу следует: если мы возьмём отношение каких-нибудь двух значений первой величины, то оно будет равно отношению двух соответствующих значений второй величины. В самом деле: 6:2 = 3; 120:40 = 3. Почему это происходит? А потому, что эти величины прямо пропорциональны, т. е. когда одна из них (время) увеличилась в 3 раза, то и другая (заработок) увеличилась в 3 раза. Мы пришли, следовательно, к такому выводу: если взять два каких-нибудь значения первой величины и разделить их одно на другое, а потом разделить одно на другое соответствующие им значения второй величины, то в обоих случаях получится одно и то же число, т. е. одно и то же отношение. Значит, два отношения, которые мы выше написали, можно соединить знаком равенства, т. е. 6:2 = 120:40. Нет сомнения в том, что если бы мы взяли не эти отношения, а другие и не в том порядке, а в обратном, то также получили бы равенство отношений. В самом деле, будем рассматривать значения наших величин слева направо и возьмём третьи и девятые значения: 3:9 = 1/3 60:180 = 1/3 . Значит, мы можем написать: 3:9 = 60:180. Отсюда вытекает такой вывод: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины. § 132. Формула прямой пропорциональности. Составим таблицу стоимости различных количеств конфет, если 1 кг их стоит 10,4 руб.
Теперь поступим таким образом. Возьмём любое число второй строки и разделим его на соответствующее число первой строки. Например: 10,4 : 1 = 10,4; 20,8 : 2 = 10,4; 31,2 : 3 = 10,4. Вы видите, что в частном всё время получается одно и то же число. Следовательно, для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся). В нашем примере это частное равно 10,4. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности. В данном случае оно выражает цену единицы измерения, т. е. одного килограмма товара. Как найти или вычислить коэффициент пропорциональности? Чтобы это сделать, нужно взять любое значение одной величины и разделить его на соответствующее значение другой. Обозначим это произвольное значение одной величины буквой у, а соответствующее значение другой величины — буквой х, тогда коэффициент пропорциональности (обозначим его К) найдём посредством деления:
В этом равенстве у — делимое, х — делитель и К — частное, а так как по свойству деления делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать: y = Kx Полученное равенство называется формулой прямой пропорциональности. Пользуясь этой формулой, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из прямо пропорциональных величин, если знаем соответствующие значения другой величины и коэффициент пропорциональности. Пример. Из физики мы знаем, что вес Р какого-либо тела равен его удельному весу d, умноженному на объём этого тела V, т. е. Р = dV. Возьмём пять железных болванок различного объёма; зная удельный вес железа (7,8), можем вычислить веса этих болванок по формуле: Р = 7,8 • V. Сравнивая эту формулу с формулой у = Кх, видим, что у = Р, х = V, а коэффициент пропорциональности К = 7,8. Формула та же, только буквы другие. Пользуясь этой формулой, составим таблицу: пусть объем 1-й болванки равен 8 куб. см, тогда вес её равен 7,8 • 8 = 62,4 (г). Объём 2-й болванки 27 куб. см. Её вес равен 7,8 • 27 = 210,6 (г). Таблица будет иметь такой вид:
Вычислите сами числа, недостающие в этой таблице, пользуясь формулой Р = dV. § 133. Другие способы решения задач с прямо пропорциональными величинами. В предыдущем параграфе мы решили задачу, в условие которой входили прямо пропорциональные величины. Для этой цели мы предварительно вывели формулу прямой пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем два других способа решения подобных задач. 1. Способ приведения к единице. Составим задачу по числовым данным, приведённым в таблице предыдущего параграфа. Задача. Болванка объёмом 8 куб. см весит 62,4 г. Сколько будет весить болванка объёмом 64 куб. см? Решение. Вес железа, как известно, пропорционален его объёму. Если 8 куб. см весят 62,4 г, то 1 куб. см будет весить в 8 раз меньше, т. е. 62,4 : 8 = 7,8 (г). Болванка объёмом 64 куб. см будет весить в 64 раза больше, чем болванка в 1 куб. см, т. е. 7,8 • 64 = 499,2(г). Мы решили нашу задачу способом приведения к единице. Смысл этого названия оправдывается тем, что для её решения нам пришлось в первом вопросе найти вес единицы объёма. 2. Способ пропорции. Решим эту же задачу способом пропорции. Так как вес железа и его объём — величины прямо пропорциональные, то отношение двух значений одной величины (объёма) равно отношению двух соответствующих значений другой величины (веса), т. е.
(буквой Р мы обозначили неизвестный вес болванки). Отсюда:
Задача решена способом пропорций. Это значит, что для её решения была составлена пропорция из чисел, входящих в условие. § 134. Величины обратно пропорциональные. Рассмотрим следующую задачу: «Пять каменщиков могут сложить кирпичные стены дома в 168 дней. Определить, во сколько дней могли бы выполнить ту же работу 10, 8, 6 и т. д. каменщиков». Если 5 каменщиков сложили стены дома за 168 дней, то (при одинаковой производительности труда) 10 каменщиков могли бы выполнить это вдвое скорее, так как в среднем 10 человек выполняют работу в два раза большую, чем 5 человек. Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением числа рабочих и рабочего времени.
Например, чтобы узнать, сколько дней потребуется 6 рабочим, надо сначала вычислить, сколько дней требуется одному рабочему (168• 5 = 840), а затем — шести рабочим (840 : 6 = 140). Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли шесть различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённее; значение второй величины, например 10-ти соответствует 84, числу 8 — число 105 и т. д. Если мы будем рассматривать значения обеих величин слева направо, то увидим, что значения верхней величины возрастают, a значения нижней убывают. Возрастание и убывание подчинено следующему закону: значения числа рабочих увеличиваются во столько же раз, во сколько раз уменьшаются значения затраченного рабочего времени. Ещё проще эту мысль можно выразить так: чем б о л ь ш е занято в каком-либо деле рабочих, тем меньше им нужно времени для выполнения определённой работы. Две величины, с которыми мы встретились в этой задаче, называются обратно пропорциональными. Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными. В жизни встречается много подобных величин. Приведём примеры. 1. Если на 150 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от ц е н ы одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара; это видно из таблицы:
С повышением в несколько раз цены конфет уменьшается во столько же раз число килограммов конфет, какое можно купить на 150 руб. В этом случае две величины (вес товара и его цена) обратно пропорциональны. 2. Если расстояние между двумя городами 1 200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения: пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, поездом, на самолёте. Чем меньше скорость, тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы:
С увеличением скорости в несколько раз время передвижения уменьшается во столько же раз. Значит, при данных условиях скорость и время — величины обратно пропорциональные. § 135. Свойство обратно пропорциональных величин. Возьмём второй пример, который мы рассматривали в предыдущем параграфе. Там мы имели дело с двумя величинами — скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время. Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвёртого значения верхней величины к седьмому значению (40 : 80), то оно не будет равно отношению четвёртого и седьмого значений нижней величины (30 : 15). Это можно написать так: 40 : 80 не равно 30 : 15, или 40 : 80 =/= 30 : 15. Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию. Например: 80 : 40 = 30 : 15, или 40 : 80 = 15 : 30.' На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины. § 136. Формула обратной пропорциональности. Рассмотрим задачу: «Имеется 6 кусков шёлковой ткани разной величины и различных сортов. Стоимость всех кусков одинаковая. В одном куске 100 м ткани ценой по 20 руб. за метр. Сколько метров в каждом из остальных пяти кусков, если метр ткани в эгих кусках соответственно стоит 25, 40, 50, 80, 100 руб.?» Для решения этой задачи составим таблицу:
Нам нужно заполнить пустые клетки в верхней строке этой таблицы. Попробуем сначала определить, сколько метров во втором куске. Это можно сделать следующим образом. Из условия задачи известно, что стоимость всех кусков одинаковая. Стоимость первого куска определить легко: в нём 100 м и каждый метр стоит 20 руб., значит, в первом куске шёлка на 2 000 руб. Так как во втором куске шёлка на столько же рублей, то, разделив 2 000 руб. на цену одного метра, т. е. на 25, мы найдём величину второго куска: 2 000 : 25 = 80 (м). Таким же образом мы найдём величину всех остальных кусков. Таблица примет вид:
Нетрудно видеть, что между числом метров и ценой существует обратно пропорциональная зависимость. Если вы сами проделаете необходимые вычисления, то заметите, что каждый раз вам придётся делить число 2 000 на цену 1 м. Наоборот, если вы теперь начнёте умножать величину куска в метрах на цену 1 м, то всё время будете получать число 2 000. Этого и нужно было ожидать, так как каждый кусок стоит 2 000 руб. Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся). В нашей задаче это произведение равно 2 000. Проверьте, что и в предыдущей задаче, где говорилось о скорости движения и времени, необходимом для переезда из одного города в другой, существовало также постоянное для той задачи число (1 200). Принимая во внимание все сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х, а соответствующее значение другой ве личины — буквой у. Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К, т. е. х • у = К. В этом равенстве х — множимое, у — множитель и K — произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит,
Это и есть формула обратной пропорциональности. Пользуясь ею, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из обратно пропорциональных величин, зная значения другой и постоянное число К. Рассмотрим ещё задачу: «Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 страниц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц, и тогда у него на странице получилось 2 500 букв. Затем он взял те числа страниц, какие указаны ниже в таблице, и снова вычислил, сколько букв будет на странице».
Попробуем и мы вычислить, сколько будет букв на странице, если в книге будет 100 страниц. Во всей книге 240 000 букв, так как 2 500 • 96 = 240 000. Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у — число букв на странице, х — число страниц):
В нашем примере К = 240 000, следовательно,
Итак, на странице 2 400 букв. Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет:
Наша таблица примет вид:
Остальные клетки заполните самостоятельно. § 137. Другие способы решения задач с обратно пропорциональными величинами. В предыдущем параграфе мы решали задачи, в условия которых входили обратно пропорциональные величины. Мы предварительно вывели формулу обратной пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем для таких задач два других способа решения. 1. Способ приведения к единице. Задача. 5 токарей могут сделать некоторую работу в 16 дней. Во сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей? Решение. Между числом токарей и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость. Если 5 токарей делают работу за 16 дней, то одному человеку для этого понадобится в 5 раз больше времени, т. е. 5 токарей выполняют работу в 16 дней, 1 токарь выполнит её в 16 • 5 = 80 дней. В задаче спрашивается, во сколько дней выполнят работу 8 токарей. Очевидно, они справятся с работой в 8 раз скорее, чем 1 токарь, т. е. за 80 : 8 = 10 (дней). Это и есть решение задачи способом приведения к единице. Здесь пришлось прежде всего определить время выполнения работы одним рабочим. 2. Способ пропорции. Решим ту же задачу вторым способом. Так как между числом рабочих и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость, то можно написать: продолжительность работы 5 токарей новое число токарей (8) продолжительность работы 8 токарей прежнее число токарей (5) Обозначим искомую продолжительность работы буквой х и подставим в пропорцию, выраженную словами, необходимые числа:
Отсюда:
Та же самая задача решена способом пропорций. Для её решения нам пришлось составить пропорцию из чисел, входящих в условие задачи. Примечание. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос о прямой и обратной пропорциональности. Природа и жизнь дают нам множество примеров прямой и обратной пропорциональной зависимости величин. Однако нужно заметить, что эти два вида зависимости являются только простейшими. Наряду с ними встречаются иные, более сложные зависимости между величинами. Кроме того, не нужно думать, что если какие-нибудь две величины одновременно возрастают, то между ними обязательно существует прямая пропорциональность. Это далеко не так. Например, плата за проезд по железной дороге возрастает в зависимости от расстояния: чем дальше мы едем, тем больше платим, ко это не значит, что плата пропорциональна расстоянию. |
(г).
