Глава III.  Применение тригонометрии к решению геометрических задач

УПРАЖНЕНИЯ

Задачи на комбинации геометрических тел

Комбинации многогранников
Комбинации цилиндров, конусов и многогранников.
Комбинации геометрических тел с шаром.

Комбинации многогранников

214 (476).В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан куб так, что четыре из его вершин лежат на апофемах пирамиды. Определить ребро куба.

215 (477). В  правильной  четырёхугольной  пирамиде боковое ребро а и составляет с плоскостью основания угол . В эту пирамиду помещён куб так, что вершины одной его грани совпадают с серединами ребер основания пирамиды, а каждое ребро противолежащей грани куба пересекает одно из боковых рёбер пирамиды. Определить объём части куба, расположенной вне пирамиды.

216 (478). Правильная треугольная пирамида с ребром основания а и двугранным углом а при этом ребре пересечена плоскостью, параллельной основанию, так, что площадь полученного сечения равна  площади боковой  поверхности образовавшейся  усечённой пирамиды. Определить расстояние секущей плоскости от вершины пирамиды.

217 (479). В правильную треугольную пирамиду вписана другая правильная пирамида так, что её вершина лежит в центре основания первой, а вершины основания лежат на боковых рёбрах первой. Ребро основания первой пирамиды равно а, и боковое её ребро составляет с плоскостью основания угол . Боковое ребро вписанной пирамиды наклонено к плоскости её основания под углом ß. Определить объём вписанной пирамиды.

218 (480).Две правильные четырёхугольные пирамиды имеют общее основание, и одна из них находится внутри другой. Боковое ребро большей пирамиды наклонено к плоскости основания под углом , a боковое ребро меньшей — под углом ß. Радиус круга, описанного около общего основания пирамид, равен R. Определитьобъём части пространства, ограниченной боковыми гранями этих пирамид. Исследовать полученное решение.

219 (481). Две правильные треугольные пирамиды имеют общую высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой; боковые рёбра одной пересекают боковые рёбра другой. Боковое ребро / одной пирамиды образует с высотой угол , боковое ребро второй образует с высотой угол ß. Определить объём общей части двух пирамид.

220 (482). В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде сторона большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а и составляет со стороной нижнего основания угол . Центр нижнего основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает с верхним основанием данной усечённой пирамиды. Определить разность объёмов усечённой и внутренней пирамид.

221 (483).Основанием пирамиды служит квадрат, сторона которого равна а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а большее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ß. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что вершины его верхнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды, а вершины нижнего основания — в плоскости основания пирамиды. Определить объём параллелепипеда, если диагональ его составляет с плоскостью основания угол  (а  = 45,3 см;  = 41°30'; ß = 43°54').

222 (484). Общим основанием двух параллелепипедов является квадрат со стороной а. Две стороны верхнего основания одного являются продолжением двух сторон верхнего основания другого. Две противоположные боковые грани каждого параллелепипеда наклонены к плоскости основания под одним углом , а две другие боковые грани перпендикулярны к той же плоскости. Определить объём общей части двух параллелепипедов.

Комбинации цилиндров, конусов и многогранников.

223 (485). Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а и образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Определить высоту цилиндра.

224 (486). Определить ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна l и наклонена к плоскости основания под углом .

225 (487). В конусе даны радиус основания R и угол  между образующей и плоскостью основания. В конус вписана прямая треугольная призма с равными рёбрами так, что её нижнее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить длину её рёбер.

226 (488). Круг, радиус которого R = 5,38 м, служит общим основанием двух конусов, построенных по одну от него сторону. Образующая одного конуса составляет с плоскостью основания угол  = 74°36', образующая другого составляет с той же плоскостью угол ß = 60°12' ( > ß). Определить объём части пространства, заключённой между боковыми поверхностями этих конусов.

227 (489). На чертеже изображён продольный разрез доменной  печи.  Внутренность её состоит из двух усечённых конусов. Верхнее и нижнее отверстия имеют радиусы r1 и r2. Углы наклона образующих к основанию и ß  . Общий объём V. Определить радиус общего основании конусов и их высоты.

228 (490). В  усечённый  конус  вписан  конус, имеющий с ним общее меньшее основание, общую высоту и образующие, соответственно параллельные образующим усечённого конуса. Определить объём части усечённого конуса, заключённой между   поверхностями   обоих   конусов.   Наибольший угол между продолжениями образующих усечённого конуса, из которых каждая а, равен .

229 (491). Образующая конуса равна l и наклонена к основанию под углом . Определить высоту   вписанного равностороннего   цилиндра,   если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

230 (492). В конус вписан цилиндр, диагонали осевого сечения которого параллельны образующим конуса. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания конуса угол . Найти объём части пространства, ограниченной боковыми поверхностями конуса и цилиндра.

231 (493). Два конуса имеют общую высоту H и параллельно расположенные основания. Образующая одного конуса наклонена к плоскости основания под углом , образующая другого- под углом ß. Определить длину линии, по которой пересекаются их боковые поверхности.

232 (494). В равносторонний конус вписана правильная n-угольная пирамида. Определить двугранные утлы при рёбрах основания пирамиды.

233 (495). В конус вписана правильная n-угольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен . Определить площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания его r.

234 (496). Два конуса имеют общую вершину, высота каждого из них лежит на боковой поверхности другого. Определить угол между линиями их пересечения, если угол между высотой и образующей в каждом конусе равен

235 (497). Около конуса описана треугольная пирамида. Боковая поверхность конуса линиями касания делится на три части пропорционально числам 5, 6 и 7. В каком отношении делят те же линии боковую поверхность пирамиды?

236 (498). Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного их них перпендикулярна к противоположной образующей другого. Объём одного вдвое меньше объёма другого. Определить угол наклона образующих большего конуса к плоскости основания конусов.

237 (499). Внутри куба, ребро которого а, помещается конус так, что его вершина совпадает с одной из вершин куба, а окружность основания касается трёх граней куба, сходящихся в противоположной вершине. Образующая конуса   составляет  с   его  осью   угол . Определить радиус   основания   конуса

238 (500).Радиус основания конуса равен  r,   а  образующая  наклонена  к плоскости основания под углом . Около конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом . Определить объём и площадь боковой поверхности пирамиды.

239 (501). В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность каждого основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Определить радиус основания цилиндра.

240 (502). Два конуса имеют концентрические основания и общую высоту h. Разность углов, составляемых образующими с осью, равна ß, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его основания равен . Определить объём части пространства, заключённой между поверхностями конусов.

241 (503). Определить площадь боковой поверхности усечённого конуса, описанного около правильной  треугольной усечённой пирамиды, если острый угол в боковой грани пирамиды равен , а радиус вписанного в неё круга равен r.

242 (504).В конус, у которого площадь боковой поверхности m и угол наклона образующей к плоскости основания , вписана треугольная пирамида, имеющая основанием прямоугольный треугольник с острым углом . Определить объём пирамиды.

243 (505). В цилиндр вписан параллелепипед; большая сторона его основания а, угол между диагональю параллелепипеда и его большей боковой гранью ß , а угол между диагональю пaраллелепипеда и плоскостью его основания равен . Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

244 (506). На общем основании построены два конуса один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а. Определить объём части пространства, ограниченной коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен , a меньшего конуса -   ß    (= 53°17'; ß = 90°; а = 32,52 м).

245 (507). В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии b от противолежащей боковой грани. Найти площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом  (b = 10,16 м;  = 61°16').

246 (508). Общим основанием пирамиды и прямой призмы, расположенных по одну его сторону, является правильный треугольник со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания: равные боковые ребра пирамиды образуют между собой угол . Высота призмы в два раза меньше высоты пирамиды. Определить объём призмы (а = 3,52 м;  = 41°20').

При обработке конических поверхностей на токарном станке играет роль понятие конусности. Конусностью называется отношение диаметра основания конуса к его высоте. Решить следующие задачи:

247 (509). Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, если конусность равна ¹/₃ .

248 (510). Из цилиндрического бруска меди требуется выточить деталь в форме конуса, образующая которого 125 мм, а конусность равна 1 : 20. Определить вес вытачиваемого конуса (удельный вес меди d 8,9).

Комбинации геометрических тел с шаром.

249 (511). На чертеже  изображено осевое сечение цилиндра (прямого кругового) и шара, описанного около цилиндра; считая, что радиус шара R, а диагональ прямоугольника в осевом сечении цилиндра составляет с основанием угол , доказать, что Н = 2R • sin  и r = R • cos , где Н — высота цилиндра и r — радиус его основания.

Рассмотрите самостоятельно случай шара,  вписанного в  цилиндр.

250 (512).1) На чертеже  изображено осевое сечение конуса (прямого кругового) и шара, описанного около конуса. Считая, что радиус шара R и угол при вершине осевого сечения конуса , доказать,   что /  АОО₁ = ;   SО₁ = Н = 2R cos² /2;   l = 2R cos² /2;  H(2R—H)= r²;  r = Rsin = l sin/2 = H tg /2

2) На чертеже  изображено осевое сечение конуса (прямого кругового) и шара, вписанного в конус. Считая радиус шара равным R и угол при вершине осевого сечения конуса , доказать справедливость соотношений:

где r — радиус окружности касания поверхности конуса с поверхностью шара;

251 (513).На чертеже  изображено осевое сечение прямого кругового усеченного конуса и шара, описанного около конуса.Считая известным радиус шара R, образующую конуса l и угол  наклона образующей конуса к плоскости нижнего его основания, доказать справедливость следующих соотношений:

d = 2R sin ; Н = l sin ; (r₂ + r₁ )² = sin²  (4R² — l²);
r₂ — r₁ = lcos

(l — образующая, H — высота, d — диагональ осевого сечения, r₁ и r₂ — радиусы нижнего и верхнего оснований).

252 (514).1) Шар радиуса R вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса . Найти радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

2) Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы а. Найти высоту призмы при n = 3; 4; 6.

253 (515).Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду.

254 (516).Определить радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . (Вычислить, при n= 8; а = 3,5 м; = 58°.)

255 (517). Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом , двугранные углы при основании равны .   Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

256 (518). В конусе даны длина с окружности основания и угол между образующей и основанием. Определить длину линии, по которой взаимно касаются боковая поверхность конуса и поверхность вписанного в него шара.

257 (519).В конус вписан шар; линией касания поверхность этого шара делится в отношении m : n. Определить угол наклона образующей конуса к его оси.

258 (520). Определить угол между образующей и плоскостью основания конуса, объём которого в m раз более объёма вписанного в конус шара. (Найти наименьшее значение m вычислить угол, если m=2 ¹/₄

259 (521).  Сечение, перпендикулярное к высоте конуса, делит конус на две равновеликие части и проходит через центр описанного около конуса шара. Найти угол между образующей и плостью основания конуса.

260 (522).  В конусе помещены два шара так, что они касаются цруг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно m : n (m > n). Определить величину угла при вершине осевого сечения конуса.

261 (523).Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырёх равных шаров, расположенных так, что каждый касается трёх других.

262 (524).  Определить радиус шара, описанного около усечённою конуса, в котором радиусы оснований R и r, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом a (R > r).

263 (525). В усечённый конус, радиусы оснований которого r₁ и r₂, вписан шар. Определить: 1) площадь поверхности шара и 2) угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

264 (526).  1) Высота правильной четырёхугольной призмы равна h, а диагональ призмы наклонена к боковой грани под углом . Определить радиус шара, описанного около призмы.

2) Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, диагонали двух боковых граней, проведённых из одной вершины верхнего основания призмы, образуют угол 2, обращенный к основанию. Определить радиус описанного шара.

265 (527). Около шара, объём которого V, описана прямая четырёхугольная призма; основание призмы — ромб с острым углом . Определить объём призмы.

266 (528).В шар радиуса R вписана прямая призма; основание её — прямоугольный треугольник с острым углом , а наибольшая её боковая грань — квадрат. Определить объём призмы.

267 (529).Призма,  основание которой — прямоугольный треугольник с острым углом , описана около шара. Вычислить объём призмы, если перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу в основании призмы, равен h.

268 (530).В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро b образует с плоскостью основания угол . Определить радиус шара, описанного около пирамиды.

269 (531).В  правильной  четырёхугольной  пирамиде сторона основания равна а и двугранный угол при ребре основания равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду.

270 (532). В  правильной  четырёхугольной  пирамиде  сторона основания а и плоский угол при вершине равен . Определить: 1) радиус вписанного шара и 2) радиус описанного шара.

271 (533).В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом  при вершине. Определить высоту пирамиды.

272 (534). Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого  и сторона между ними а. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом . Определить радиус вписанного в пирамиду шара.

273 (535).1) Около шара радиуса R описана четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит ромб с острым углом . Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом ß. Определить объём и площадь поверхности пирамиды.

2) В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, у которой двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить ребро основания пирамиды.

274 (536). В   правильной   четырёхугольной   пирамиде  центры вписанного и описанного шаров совпадают. Определить двугранный угол при ребре основания пирамиды.

275 (537). Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом  между диагоналями, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол . Определить объём этой пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен R.

276 (538). Определить радиус шара, вписанного в правильную n-угольную пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при вершине равен .

277 (539).Определить радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, стороны основания которой а, b и с, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом .

278 (540). В правильную шестиугольную пирамиду c двугранным углом  при ребре основания вписан шар радиуса R. Определить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, которая отсечена от данной пирамиды плоскостью, касательной к шару и параллельной плоскости основания пирамиды.

279 (541). Около шара описана правильная четырёхугольная усечённая пирамида: объём восьмигранника, вершинами которого служат точки касания поверхности шара с гранями усечённой пирамиды, вчетверо меньше объёма шара. Определить двугранные углы при ребре основания пирамиды.

280 (542). В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ; высота h пирамиды служит диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей.

281 (543). В конус вписан шар; сечение, касательное к шару и параллельное основанию конуса, делит конус на две равновеликие части. Определить угол наклона образующей к плоскости основания конуса.

282 (544). Вокруг шара радиуса R описан усечённый конус, образующая которого наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

283 (545). В усечённый конус вписан шар радиуса R; из центра шара диаметр большего основания усечённого конуса виден под углом . Определить объём усечённого конуса.

284 (546).1) В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с высотой угол . Определить объём конуса.

2) Определить площадь поверхности шара, вписанного в конус, высота которого h и угол наклона образующей к плоскости основания .

285 (547).Вычислить объём конуса, зная радиус R шара, вписанного в конус, и угол , под которым из центра шара видна образующая  конуса.  Исследовать формулу решения.

286 (548).В полушар радиуса R вписан усечённый конус так, что его большее основание совпадает с основанием полушара, а образующая наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить площадь поверхности конуса.

287 (549). Шар касается боковой поверхности конуса по окружности основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из которых одна в n раз больше другой. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

288 (550). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна Н; перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного около пирамиды, на её боковуо грань, образует с высотой угол . Определить объём шара.

289 (551).  Основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют острый двугранный угол , а третья боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Пирамида вписана в шар радиуса R. Найти объём пирамиды.

290 (552).Около шара описан прямой параллелепипед, объём которого в m раз больше объёма шара. Определить углы в основании параллелепипеда.

291 (553). Площадь поверхности шара,  вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.