ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.

ДЕЙСТВИЯ НАД ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И ВЫРАЖЕНИЯМИ.

Глава первая. Понятие об иррациональном числе.
Глава вторая. Иррациональные значения радикалов.
Глава третья.Понятие о приближенных вычислениях.
Глава  четвертая. Преобразование иррациональных выражений.

Глава первая.

Понятие об иррациональном числе.

183.  Соизмеримые  и  несоизмеримые с единицею значения величины.

Как известно из геометрии, общею мерою двух отрезков прямой, или двух углов, или двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и три же величины, называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии же разъясняется, что могжет быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры (напр, сторона квадрата и его диагональ).

Два значения одной и той же величины называются соизмеримыми или несоизмеримыми между собою, смотря по тому, имеют ли они общую меру, или не имеют.

184.  Понятие об измерении. Пусть требуется измерить длину отрезка AB  при помощи единицы длины CD.

Для этого узнаем, сколько раз единица CD содержится в АВ. Пусть окажется, что она содержится в АВ 3 раза с некоторым остатком ЕВ, меньшим CD. Тогда число 3 будет приближенный результат измерения  с точностью  до   1 и притом с недостатком, так какAB больше 3CD, но меньше 4СD (число 4 тоже можно назвать приближенным результатом измерения с точностью до 1, но с избытком).

Желая получить более точный результат измерения, узнаем, сколько раз в остатке ЕВ содержится какая-нибудь доля единицы CD, напр. ¹/₁₀ CD. Положим, что эта доля содержится в ЕВ более 8, но менее 9 раз. Тогда числа 3,8 и 3,9 будут приближенные результаты измерения отрезка AВ с точностью до ¹/₁₀ , первое число с недостатком, второе с избытком.

Желая получить еще более точный результат измерения, узнаем, сколько раз в последнем остатке содержится ¹/₁₀₀ . Доля единицы CD. Положим, что эта доля содержится в остатке более 5 раз, но менее 6 раз. Тогда числа 3,85 и 3,86 будут приближенные результаты измерения отрезка AВ с точностью до ¹/₁₀₀ единицы. Можно продолжать такое измерение все далее и далее до тех пор, пока или не окажется никакого остатка, или остаток сделается столь малым, что им можно пренебречь; в первом случае мы получим точный результат измерения, во втором случае—приближенный с точностью до той доли единицы,посредством которой измеряли в последний раз.

Если отрезок AВ несоизмерим с единицею длины CD, то точного результата измерения мы никогда получить не можем. Действительно, если допустим, что таким результатом была бы какая-нибудь дробь, напр. ⁵⁹/₂₇, то тогда ¹/₂₇ доля CD служила бы общею мерою для AВ И CD, а несоизмеримые отрезки общей меры не имеют.

Если же отрезок AВ соизмерим с CD, то мы могли бы получить точный результат измерения, если бы предварительно нашли общую меру для AВ и CD и узнали, сколько раз она содержится в AВ и CD. Если, положим, общая мера в AВ содержится 23 раза, а в CD 11 раз, то AВ = ²³/₁₁ единицы CD. Но если, не отыскивая общей меры, мы производим измерение произвольно взятыми долями единицы, то и в этом случае можем часто не получить точного результата измерения.

Измерение чаще всего производится посредством десятичных долей единицы; тогда результат измерения выражается десятичною дробью. Когда измеряемый отрезок соизмерим о единицею длины, то десятичная дробь может получиться или конечная (если общею мерою служит какая-нибудь десятичная доля единицы), или бесконечная (когда общая мера есть такая доля единицы, которая не обращается в точную десятичную дробь). Если же измеряемый отрезок несоизмерим с единицею длины, то точного результата измерения быть не может, и потому десятичная  дробь  должна  оказаться  бесконечной (если измерение продолжается все дальше и дальше без конца).

Полезно заметить, что есть существенная разница между той бесконечной десятичной дробью, которая может получиться от измерения соизмеримого отрезка, и тою, которая происходит от измерения несоизмеримого отрезка. Первая дробь должна быть периодической, вторая непериодической¹⁾.

185. Иррациональные числа. Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами²⁾. Первые служат мерою величин, соизмеримых с единицею, вторые—мерою величин, несоизмеримых с единицею.

Иррациональное число считается известным (или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.

Два иррациональных числа (как и два рациональных) считаются равными, если они произошли от измерения одною и тою же единицею двух равных величин; из двух неравных чисел то считается большим, которое произошло от измерения большей величины. Две равные величины, конечно, должны содержать в себе одинаковое число целых единиц, одинаковое число десятых долей, одинаковое число сотых долей и т. п., поэтому равные иррациональные числа должны быть выражены одинаковыми цифрами³⁾. Большая же величина должна содержать в себе большее число целых или — при равенстве целых—большее   число   десятых,   или — при  равенстве целых и десятых — большее число, сотых и т. д. Напр., число 2,745037... больше числа 2,745029..., так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором, при тождественности всех предыдущих цифр.

Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными.

186. Приближенные значения иррационального числа. Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число α ⁴⁾, т. е. пусть указан способ, посредством которого мы можем получить сколько угодно цифр числа α (этим способом может быть, напр., то правило, посредством которого мы находим приближенные квадратные корни с точностью до ¹/₁₀   до   ¹/₁₀₀   до   ¹/₁₀₀₀ и т. д.). Положим, мы нашли такие 5 цифр числа α:

α = 1,4142...

Возьмем из этих цифр несколько первых, напр, цифры 1,41, а остальные отбросим. Тогда мы получим приближенное значение числа α, причем это значение будет с недостатком, так как 1,41 < α. Если последнюю из удержанных нами цифр увеличим на 1, т. е. вместо 1,41 возьмем 1,42, то получим тоже приближенное значение числа α, но с избытком. Обыкновенно из двух приближенных значений, из которых одно с недостатком, другое с избытком, берут значение с недостатком, если первая из отброшенных цифр менее 5, и значение с избытком, если эта цифра больше 5.

187. Определение действий над иррациональными числами. Пусть α и β будут какие-нибудь данные положительные иррациональные числа. Если эти числа даны, то это значит, что мы можем найти их приближенные значения с любою точностью. Пусть, напр., приближенные значения чисел α и β, взятые с  недостатком, будут такие (мы берем приближенные значения √3  и √2 ):

(Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1.)

Тогда: а) сложить α и β  значит найти число, которое было бы

т. е. сложить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных их значении, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значении, взятых с избытком.

б) Беря приближенные значения чисел α и β, указанные сейчас, мы можем сказать, что произведение α β есть число, которое

т. е. перемножить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближенных значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближенных значений, взятых с избытком.

в)  Возвысить   иррациональное   число   α   во  вторую, третью, четвертую и т. д. степени — значит найти произведение, составленное из двух, трех, четырех и т. д. сомножителей, равных  α.

г)  Обратные   действия  определяются   для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа  α число β  значит найти такое число х, чтобы сумма β + х равнялась α, и т. п.

Если одно из чисел α или  β будет рациональное, то в указанных определениях прямых действий вместо приближенных значений такого числа можно брать точное число.

Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для чисел рациональных, равным нулю.

Действия над отрицательными иррациональными числам и производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.

При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия   над  иррациональными   числами   обладают   теми  же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; напр., сумма и произведение обладают свойствами переместительным и сочетательным; произведение и деление, кроме того, обладают еще распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются у чисел иррациональных; так, если α >  β, то α + γ >  β,  αγ >  βγ (если γ > 0) и αγ <  βγ (если γ < 0) и т. п.

Глава вторая.

Иррациональные значения радикалов.

188. Приближенные корни любой степени. Мы уже говорили (отдел 7 глава 2 §§ 175-177), что такое приближенные квадратные корни с точностью до 1, до ¹/₁₀ и т.д. и как эти корни находятся. Сказанное тогда о квадратном корне может быть применено к корню всякой другой степени. Напр., приближенным ³√2 с точностью до ¹/₁₀₀ называется такая десятичная дробь, состоящая из целых, десятых и сотых, куб которой меньше 2, но если увеличим ее на ¹/₁₀₀ и эту увеличенную дробь возвысим в куб, то получим больше 2.

Мы не будем выводить правил для нахождения точных и приближенных корней кубичных и других более высоких степеней; ограничимся только указанием следующего простого приема для нахождения таких корней. Пусть требуется найти ³√2. Приближенные корни с точностью до 1 будут, очевидно, числа 1 (с недостатком) и 2 (с избытком). Чтобы найти цифру десятых долей искомого корня, найдем в ряду:

1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2

два рядом стоящих числа таких, чтобы куб левого числа был меньше 2, а куб- правого больше 2. Для этого возьмем из чисел нашего ряда среднее 1,5 и возвысим его в куб. Мы найдем: 1,5³ = 3,375, что больше 2. Так как числа, стоящие направо от 1,5 дают при возвышении в куб еще больше, то мы можем отбросить всю правую половину ряда и испытать только числа:

1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4.

Возьмем среднее из них 1,2 и возшсим в куб. Получим 1,728, что меньше 2. Значит, испытанию подлежат теперь только числа 1,3 и 1,4. Возвысив в куб число 1,3, получим 2,197, что больше 2. Мы получили  таким  образом   два числа 1,2 и 1,3, которые разнятся между собою на 0,1 и между кубами которых заключается число 2. Это и будут приближенные кубичные корни из 2 с точностью до ¹/₁₀ c недостатком и c избытком. Если желаем найти цифру сотых, мы должны испытать следующие числа:

1,21; 1,22;  1,23;.......1,29.

Взяв в этом ряду среднее число 1,25 и возвысив его в куб, найдем: 1,25³= 1,953125, что меньше 2. Значит, теперь надо испытать только числа: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Так как 1,25³ очень мало разнится от 2, то весьма вероятно, что 1,26³ будет больше 2. И действительно, возвысив 1,26 в куб, получим 2,000376. Значит, искомый кубичный корень из 2 с точностью до ¹/₁₀₀ будет 1,25 (с недостатком) или 1,26 (с избытком). Если бы мы желали далее найти цифры тысячных, то должны были бы подобным же путем испытать числа ряда:

1,251; 1,252; 1,253;.........1,259.

Конечно, прием этот утомителен (существуют более удобные способы)⁵⁾, но из него ясно видно, что десятичные цифры приближенных корней любой степени могут быть найдены в каком угодно большом числе.

189. Иррациональное значение корня. Разъясним, что√3 , который точно не выражается ни целым, ни дробным числом, равен некоторому иррациональному числу. Для этого вычислим ряд приближенных √3  с   точностью  до ¹/₁₀, до ¹/₁₀₀  до ¹/₁₀₀₀  ...

Эти значения будут:

1,7; 1,73; 1,732; 1,7320 (с нед.). 1,8; 1,74; 1,733;  1,7321 (с изб.).

Изобразим все эти числа на числовой прямой. Для этого примем какую-нибудь точку А некоторой прямой  за начало отрезков и, выбрав произвольную единицу длины, отложим на прямой отрезки: Аb₁ = 1,7 ,  Аb₂ = 1,73 и т. д.; затем отрезки: Аb₁ = 1,8, Аb₂ =1,74 и т. д.

Так как каждый приближенный корень с недостатком меньше каждого приближенного корня с избытком (потому   что   квадрат    первого   меньше   3, а квадрат второго больше 3), то каждая дочка b должна лежать налево от каждой точки В. С другой стороны, разность между приближенным корнем с избытком и соответствующим приближенным корнем с недостатком может быть сделана как угодно мала; поэтому при неограниченном увеличении точности, с какою мы находим приближенные квадратные корни из 3, промежуток на числовой прямой, отделяющий область точек B от области точек  В (т. е.  промежуток b₁B₁,  b₂B₂,   b₃B₃..),  становится все меньше и меньше и может сделаться как угодно малым. При этих условиях мы должны допустить, что на прямой существует некоторая точка х (и только одна), которая служит границею, отделяющею ту часть прямой, на которой лежат все точки b, от той ее части, на которой расположены все точки В.

Обозначим буквою α число, измеряющее отрезок Ах. Так как это число больше каждого из чисел, измеряющих отрезки Аb₁ ,Аb₂ ... и меньше каждого из чисел, измеряющих отрезки АB₁ , АB₂ . . ., то α² должно быть больше квадрата каждого из приближенных квадратных корней из 3, взятого с недостатком, и меньше квадрата каждого из приближенных квадратных корней из 3, взятого с избытком. Согласно определению приближенных квадратных корней, такое число есть 3. Значит, α² = 3 и поэтому α = √3

Повторяя все сейчас сказанное o √3 , о корне какой угодно степени из какого угодно числа (конечно, положительного, так как мы говорим об арифметических корнях), можно сказать, что каково бы ни было число А, всегда ^m√A есть некоторое число, рациональное или иррациональное, которого m-ая степень равна А.

Поэтому все свойства радикалов, основанные на этом определении корня (отдел 6 глава 6 § 168),  применимы также и к иррациональным их значениям. Таким образом, каковы бы ни были положительные числа, всегда будем иметь:

Глава третья.

Понятие о приближенных вычислениях.

190. Предварительное замечание. При совершении какого-либо действия над числами иррациональными (или над числами рациональными, если они выражаются десятичными дробями с очень большим числом цифр) приходится довольствоваться приближенным результатом действия. В этом случае важно знать, как велика погрешность этого приближенного результата. Рассмотрим, как можно это делать в простейших случаях.

191. Приближения с недостатком и с избытком. Если вместо точного числа мы берем приближенное число, то это последнее называется   приближением   с   недостатком,  если  оно меньше точного числа, и  с избытком, если оно больше его. Разность между точным числом и его приближением называется погрешностью этого приближения. Если, напр., точное число есть  3,826  и  мы  вместо  этого числа взяли 3,82, то это будет приближение с недостатком,   причем погрешность равна 0,006; если же  вместо  3,826   возьмем, положим, 3,83, то будем иметь приближение с избытком, причем погрешность окажется 0,004. Обыкновенно    точная   величина  погрешности  остается  неизвестной, а известно только, что она меньше некоторой дроби, напр,   меньше   ¹/₁₀₀ .   Тогда   говорят,  что   приближение   точно до  ¹/₁₀₀ .

Пусть,   напр.,   известно,  что  2,85  есть  приближение числа А с точностью  до   ¹/₁₀₀. Это   значит,   что  2,85  разнится от А меньше,  чем на ¹/₁₀₀ , так что если 2,85 есть приближение с недостатком, то точное число А заключается между 2,85 и 2,86, а если 2,85 есть приближение с  избытком, то А заключается между 2,85  и  2,84.  Если  же   остается неизвестным, будет ли приближение   2,85  с недостатком  или  с избытком, а известно только, что  оно  точно до ¹/₁₀₀, то о числе А мы можем только утверждать, что оно заключается между 2,84 и 2,86.

Погрешность, о которой мы сейчас говорили, называется абсолютною погрешностью в отличие от относительной погрешности, под которою разумеют отношение абсолютной погрешности к точному числу. Так, если вместо точного числа 3,826 мы берем приближенное 3,82, то относительная погрешность будет 0,006: 3,820 = 6:3826 = 0,001568..., т. е. менее 0,002. Это значит, что, взяв приближение 3,82, мы ошиблись менее, чем на 0,002 точного числа.

Иногда относительную погрешность выражают в процентах точного числа, т. е. указывают, что погрешность менее стольких-то процентов точного числа. Так, если относительная погрешность менее 0,002 точного числа, то это значит, что она менее 0,2% этого числа, так как

В дальнейшем мы будем говорить только об абсолютной погрешности, называя ее просто „погрешность".

192. Десятичные приближения. Когда имеют дело с десятичными числами, то приближения их берут с точностьдо до ¹/₁₀, до ¹/₁₀₀ и т. д. и даже с точностью до ¹/₂ десятичной единицы. Такие приближения находятся по следующим правилам.

а)  Чтобы получить приближение с недостатком данного десятичного числа (с конечным или бесконечным числом десятичных   знаков)   с точностью  до   одной  десятичной  единицы какого-либо разряда, достаточно отбросить в числе все цифры, стоящие вправо от той, которая выражает  единицы этого разряда.

Так, приближение с недостатком числа 3,14159... с точностью до ¹/₁₀₀ есть 3,14, потому что это число меньше данного и погрешность, равная 0,159... сотой, меньше целой сотой.

б)  Чтобы получить приближение с избытком данного десятичного числа с точностью до  одной десятичной единицы какого-либо разряда, достаточно,  отбросив в числе все цифры, стоящие вправо от той, которая выражает  единицы этого разряда, увеличить на 1 последнюю из удержанных цифр.

Так, приближение с избытком числа 3,14159... с точностью до 0,001 есть 3,142, потому что это число больше данного и погрешность его меньше 0,001.

в)  Чтобы получить приближение данного десятичного числа с точностью до ¹/₂ десятичной единицы какого-либо разряда, достаточно, поступив так, как было сказано в правиле 1-м, увеличить на 1 последнюю из удержанных цифр, если первая из отброшенных цифр есть 5 или больше 5 (и тогда приближение будет с избытком), а в противном случае оставить ее без изменения (и тогда приближение будет с недостатком).

Так, приближение (с недостатком) числа 3,14159... с точностью до ¹/₂ сотой есть 3,14, так как погрешность менее 0,5 сотой; приближение того же числа (с избытком) с точностью до ¹/₂ тысячной есть 3,142, так как погрешность, равная (1—0,59) тысячной, очевидно, меньше 0,5 тысячной.

193. Погрешность приближенной суммы. Из свойств арифметического сложения мы знаем, что если какое-либо слагаемое уменьшится или увеличится на некоторое число, то и сумма уменьшится или увеличится на то же число. Поэтому если все слагаемые взяты с недостатком  или все с избытком, то сумма в первом случае будет с недостатком, а во втором — с избытком, причем  погрешность  суммы  равна  сумме погрешностей всех слагаемых. Если  же случится, что некоторые слагаемые взяты с  недостатком, а другие  с  избытком, то погрешность, происходящая от слагаемых с недостатком,   покроется вполне или частью противоположною погрешностью от слагаемых с избытком,   и  потому  окончательная   погрешность  суммы  менее суммы погрешностей слагаемых. Приведем примеры:

а) Пусть требуется найти суммы:

√2 + √3  + √5  = 1,4142 . . . + 1,7320 . . . + 2,2360 . . .

Положим, что в каждом слагаемом мы ограничиваемся тремя десятичными знаками после запятой:

Так как все слагаемые мы взяли с недостатком, то и сумма будет  с недостатком; погрешность  каждого слагаемого менее ¹/₂ тысячной,  поэтому погрешность суммы 5,382 менее (¹/₂ + ¹/₂ + ¹/₂) тысячной, т.е. менее  1,5  тысячной.  Если мы отбросим в  числе  5,382 последнюю цифру 2, то еще уменьшим сумму на 2 тысячных, и погрешность числа 5,38 будет менее суммы 1,5 + 2 = 3,5 тысячных, что в свою очередь менее 5 тысячных, т. е. менее 3/г сотой. Таким  образом,  5,38 есть приближенная сумма данных слагаемых,  взятая с недостатком и точная до ¹/₂ сотой.

Тогда погрешность      суммы 10,9005 будет во всяком случае меньше
¹/₂+  ¹/₂ + ¹/₂ + ¹/₂ + ¹/₂  = 2,5   десятитысячных;   если  же отбросим последнюю цифру  5 этой суммы, то  мы eе уменьшим на 5 десятитысячных и погрешность будет меньше 5+2,5 = 7,5 десятитысячных, что  меньше 10 десятитысячных, т.е. меньше 1 тысячной. Таким образом, число 10,900 есть приближенная оумма с недостатком (так как уменьшение на 5 десятитысячных больше возможного увеличения на 2,5 десятитысячных), точная до 1 тысячной.

Из этих примеров видно, что если требуется найти приближённую сумму с точностью до одной единицы какого-нибудь разряда, то мы должны в слагаемых взять десятичных знаков больше, чем их требуется иметь в окончательном результате (на 1 знак больше, если слагаемых не более 10). Пусть, напр., надо найти с точностью до 1 сотой сумму:

Заметим, что иногда последнюю цифру приближенной суммы следует увеличить на 1. Напр., положим, что в приведенном сейчас примере третий десятичный знак суммы 95,534  был бы не  4,  а 9; тогда, отбросив его, мы получили бы сумму 95,53 с недостатком, с точностью до 6+ 9 = 15 тысячных, что составляет  1,5  сотой. Если увеличим последний десятичный  знак на 1, т. е. возьмем число 95,54, то мы, очевидно, уменьшим погрешность на 1 сотую, вследствие чего она будет теперь менее 1 сотой (но остается неизвестным, с недостатком или с избытком будет приближенная сумма).

194. Погрешность приближенной разности. Из свойств арифметического вычитания мы знаем, что если уменьшаемое уменьшим или увеличим, то и разность уменьшится или увеличится на столько же; если же вычитаемое уменьшим или увеличим, то разность увеличится или уменьшится на столько же. Значит, если оба данные для вычитания числа взяты с недостатком  или оба с избытком, то погрешность разности равна разности погрешностей данных чисел; если же одно данное число взято с недостатком, а другое с избытком, то погрешность разности  должна  равняться сумме погрешностей данных  чисел. Приведем примеры:

1) √3  — √2  = 1,73205 ... — 1,41421

Положим мы взяли в каждом числе только по 3 десятичных знака после запятой:

Так как оба приближения мы взяли с недостатком с точностью до ¹/₂ тысячной,  то погрешность числа 0,318, равная разности погрешностей данных чисел, меньше ¹/₂ тысячной, причем  остается  неизвестным, будет ли приближенная разность с  недостатком или с избытком (неизвестно, какое уменьшение больше: уменьшаемого или вычитаемого).

2) Пусть   требуется  найти  разность   приближенных  чисел 7,283—5,496, точных до 1 тысячной, причем  неизвестно, взяты ли они оба с недостатком, или оба с избытком, или одно с недостатком, а другое с избытком.

Погрешность разности не более суммы погрешностей данных чисел, т. е. не более 2 тысячных.  Если отбросим последнюю цифру 7, то погрешность  будет не более 7+2 = 9 тысячных, что меньше  10 тысячных =1 сотой.

Таким образом, если требуется найти разность данных приближенных чисел с точностью до одной единицы какого-нибудь разряда, то в данных числах можно ограничиться единицами этого разряда, отбросив все низшие разряды, если известно, что оба числа взяты с недостатком или оба с избытком; если же это неизвестно, то в данных числах надо взять одним разрядом больше, чем требуется иметь в результате, и последнюю цифру результата откинуть.

195. Погрешность приближенного произведения. Из свойств арифметического умножения мы знаем, что если один из двух сомножителей уменьшится или увеличится на какое-нибудь число, то произведение уменьшится или увеличится на это число, умноженное на другой сомножитель. Поэтому, если один из двух сомножителей точное число, а другой приближенное, то погрешность произведения равна погрешности приближенного сомножителя, умноженной на точный сомножитель.

Пример. Вычислить 2πR, где π = 3,1415926... и R = 2,4 м.

Ограничиваясь приближенным значением числа π с точноcтью до ¹/₂  тысячной (с избытком), получим:

2πR = 3,142 • 4,8 = 15,0816.

Погрешность меньше ¹/₂ • 4,8 = 2,4 тысячной, причем приближение будет с избытком. Отбросив в результате  последние две цифры, т. е. 16 десятитысячных = 1,6 тысячной, мы уменьшим результат на столько же; значит, полученное число 15,08 будет точно до 2,4—1,6 = 0,8 тысячной, что меньше 1 тысячной (и поэтому результат 15,08 лучше изобразить так: 15,080); при этом остается неизвестным, будет ли приближение 15,08 с избытком или с недостатком.

Когда оба сомножителя приближенные числа, погрешность произведения можно определить следующим образом. Пусть а и b будут приближения, взятые оба с недостатком, причем погрешность первого есть α, а второго β.
Тогда точные числа будут а + α и b + β . Найдем разность между точным произведением (а + α) (b + β) и приближенным аb:

(а + α) (b + β) — аb = аb + αb + а β + αβ — аb = αb + аβ + αβ

Так как числа α  и  β небольшие, то произведение αβ настолько мало, что им можно пренебречь (напр., если α <0,001 и  β < 0,001, то αβ < 0,000001). Тогда можно сказать, что погрешность приближенного произведения аb равна αb + аβ, т. е. она равна сумме произведений погрешности каждого приближенного сомножителя на другой сомножитель. Если оба сомножителя взяты с избытком, то точные числа будут а — α и b — β и тогда

аb — ( а — α) (b — β ) = аb — аb + αb + аβ  — αβ = αb + βа  — αβ,

или, пренебрегая попрежнему числом αβ,

аb — ( а — α) (b — β ) = αb + βа ,

т. е. погрешность приближенной суммы выражается тою же суммою, какую мы нашли раньше.

Приложим сказанное к следующему примеру:

√3  • √2  = 1,73205 ... • 1,41422 ...

Ограничиваясь четырьмя десятичными знаками после запятой, перемножим приближения с  недостатком, взятые с точностью до 0,0001:

1,7320 • 1,4142 = 2,44939440.

Так как каждое из взятых приближений меньше 2, то погрешность найденного приближенного произведения меньше 0,0001•2 + 0,0001•2, т. е. меньше 4 десятитысячных, причем оно будет с недостатком. Если в этом произведении отбросим цифры 39440, то  уменьшим еще произведение на число, меньшее 4 десятитысячных; тогда получим произведение 2,449, точное до 4 + 4 = 8 десятитысячных, что меньше 10 десятитысячных = 1 тысячной. Значит, приближенное произведение 2,449 будет с недостатком и точное до 0,001.

В частном случае, когда речь идет, как в нашем примере, об умножении квадратных корней, произведение мы можем найти проще, так: принимая во внимание, что √3  • √2 = √6 , извлечем из 6 приближенный квадратный корень с желаемою точностью. Так, извлекая корень до тысячных долей, получим то же число 2,419, которое мы получили выше иным путем.

196. Сокращенное умножение. Укажем еще следующий прием сокращенного умножения, который позволяет быстро найти произведение с заранее заданною точностью. Пусть требуется найти с точностью до 0,001 произведение:

314,159265358... • 74,632543926 ...

Мы сначала укажем, как производится сокращенное умножение, а потом объясним, почему.

Подписываем цифры множителя под множимым в обратном порядке справа налево так, чтобы цифра его простых единиц стояла под тою цифрою множимого, которая выражает единицы во 100 раз меньшие единицы разряда, выражающего данную точность, т. е. в нашем случае под цифрою 6 стотысячных:

Затем   умножаем   множимое  на каждую цифру множителя не обращая при этом внимания на цифры множимого,  стоящие вправо от той цифры множителя, на которую умножаем. Все эти частные произведения подписываем одно под другим так, чтобы первые справа их цифры стояли в одном вертикальном столбце, после чего их сложим. В полученном числе отбрасываем две последние цифры и увеличиваем на 1 последнюю из оставшихся цифр. Наконец, ставим запятую так, чтобы последняя цифра выражала единицы требуемого разряда, т. е. в нащем случае тысячные доли. Полученное число 23446,505 будет точно до 0,001 (остается неизвестным, с недостатком или с избытком).

Теперь объясним этот прием сокращенного умножения.

Прежде всего убедимся в том, что все частные произведения выражают единицы одного и того же разряда, именно во 100 раз меньшие единицы данного разряда (в нашем примере — стотысячные доли). Действительно, умножая на первую цифру 7 число 314159265, мы умножаем миллионные доли на десятки, значит, получаем в произведении стотысячные доли. Далее, умножая на 4 число 31415926, мы умножаем стотысячные доли на простые единицы; значит, получаем снова в произведении стотысячные доли, и т. д. Из этого следует, что сумма 2344650499 выражает стотысячные доли, т. е. она есть число 23446,50499. Покажем теперь, что погрешность в окончательном результате меньше 0,001.

Так как часть множимого, написанная направо от цифры 7 множителя, меньше 1 миллионной, то, пренебрегая произведением этой части на 70, мы уменьшаем результат на число, меньшее 7 стотысячных. Далее, так как часть множимого, написанная направо от цифры 4 множителя, меньше 1 стотысячной, то, пренебрегая произведением этой части на 4 простые единицы, мы уменьшаем результат на число, меньшее 4 стотысячных. Рассуждая подобным образом относительно всех прочих цифр множителя, на которые приходится умножать, заметим, что мы уменьшаем результат на число, меньшее 7 + 4 + 6 + + 3 + 2 + 5 + 4 + 3 + 9 стотысячных. Наконец, так как множимое меньше 1 тысячи, а часть множителя, написанная влево от множимого (на которую, следовательно, не приходится умножать вовсе), меньше 2 + 1 стомиллионных, то, пренебрегая произведением множимого на эту часть множителя, мы еще уменьшаем результат на число, меньшее 2 + 1 стотысячных. Следовательно, беря вместо точного произведения число 23446,50499, мы уменьшаем   первое   на  число,  меньшее  (7 + 4 + 6 + 3 + 2 + 5 + 4 + 3 + 9) + 2 +1 стотысячных, т. е. вообще меньшее 101 стотысячной, если только сумма цифр множителя, на которые приходится умножать, увеличенная на первую из отбрасываемых его цифр, не превосходит 100 ^{6 )} (это всегда имеет место, если число частных произведений не превосходит 10). Кроме того, отбрасывая две последние цифры результата, мы снова уменьшаем произведение на число, не превосходящее 99 стотысячных. Поэтому все уменьшение будет менее 101 + 99 стотысячных, т. е. менее 2 тысячных; если же последнюю цифру увеличим на 1, т. е. на 1 тысячную, то результат 23446,505 разнится от точного произведения менее, чем на 2—1 тысячной, т. е. менее одной тысячной (причем остается неизвестным, будет ли он с избытком или с недостатком).

Заметим, что увеличивать на 1 последнюю из удержанных цифр произведения не всегда необходимо. Это нужно было сделать в рассмотренном примере, потому что там погрешность произведения (до увеличения на 1 последней его цифры) менее суммы

(7 + 4 + 6 +3 + 2 + 5 + 4 + 3+ 9) + 2 + 1 + 99 стотысячных = 145 стотысячных,

которая заключается между 100 и 200 стотысячных. Но если бы отбрасываемые 2 цифры были не 99, а напр. 25, то погрешность произведения оказалась бы меньше суммы

(7 + 4 + 6 +3 + 2 + 5 + 4 + 3+ 9) + 2 + 1 + 25 стотысячных = 71 стотысячных,

что, в свою очередь, меньше 100 стотысячных, т. е. меньше 1 тысячной. Значит, тогда не нужно было бы увеличивать последнюю цифру на 1. В этом случае произведение было бы с недостатком.

Замечание. В применении правила сокращенного умножения мы не обращаем никакого внимания на те цифры множимого, которые стоят вправо от множителя, и на те цифры множителя, которые стоят влево от множимого; и те и другие мы можем совсем отбросить. Таким образом, во множимом и во множителе нужных цифр должно быть одно и то же число; нетрудно заранее определить, сколько цифр должно быть, чтобы произведение было с заданною точностью. Разъясним это на примере. Пусть требуется вычислить до ¹/₁₀₀ произведение

1000π (√5  — 1),

где π есть отношение окружности к диаметру, равное 3,1415926535... Обращая внимание на последнее умножение, рассуждаем так: искомое произведение должно быть вычислено до одной сотой; значит, цифра простых единиц множителя (т. е.√5  — 1) должна стоять под четвертым десятичным знаком множимого; с другой стороны, во множителе (√5  — 1) нет разрядов выше простых единиц; из этого заключаем, что больше 4 десятичных знаков во множимом, т. е. в 1000π, бесполезно вычислять. Значит 1000π надо взять равным 3141,5926; следовательно, и во множителе, т. е. в √5  — 1, надо вычислить 8 цифр. Извлечением находим, что √5  =2,2360679 и, следовательно, √5 —1 = 1,2360679. Действие выполняется так:

197. Погрешность приближенного частного. Если делимое приближенное число, а делитель, точное число, то погрешность, частного равна частному от деления погрешности приближенного делимого на точный делитель, причем приближенное частное будет с недостатком или с избытком, смотря по тому, с недостатком или с избытком взято приближенное делимое.

Для примера вычислим частное:

Ограничиваясь в делимом тремя десятичными знаками, произведем умножение:

0,538 • 7 = 3,766.

Мы получили произведение с недостатком с точностью до ¹/₂ .• 7 = 3 • ¹/₂  тысячной, и потому частное 3,766 : 3 = 1,25533... будет тоже с недостатком, причем погрешность должна быть менее 3¹/₂ : 3 = 1¹/₂  тысячной. Если в полученном частном отбросим цифры, следующие за цифрой сотых, т. е. возьмем только 1,25, то еще уменьшим частное на число, меньшее б тысячных; значит, погрешность числа 1,25 будет меньше 6 +1¹/₆  = 7¹/₆ тысячной, что меньше 10 тысячных, т. е. меньше 1 сотой.

198. Сокращенное деление. Когда делитель приближенное число, а делимое точное или тоже приближенное, тогда затруднительно определить предел погрешности частного. В этом случае лучше всего пользоваться сокращенным приемом деления, который позволяет сравнительно быстро найти частное с заданною наперед точностью.

Чтобы уяснить этот сокращенный прием, мы предварительно докажем следующую вспомогательную истину: если делитель есть целое число с дробью и мы откинем в нем эту дробь, то частное увеличится на число, меньшее этого частного, деленного на целую часть делителя.

Пусть делимое будет A, делитель В и дробная часть делителя α. Тогда целая часть делителя равна В— α и точное частнoe = ^A/_B, приближенное частное = ^A/_{B— α} увеличение частного =

Так как α < 1, то Aα < A; поэтому увеличение частного < ^A/_B : (В — α), т. е. оно менее частного, деленного на целую часть делителя. Положим теперь, что требуется найти с точностью до  0,01 частное:

31 415,92653... : 432,639...

Мы сначала укажем, как производится сокращенное деление, а потом объясним, почему.

Узнаем, сколько цифр должно быть в приближенном частном. Так как делимое больше делителя, умноженного на 10, но меньше делителя, умноженного на 100, то в целой части частного должно быть 2 цифры. Так как частное должно быть вычислено до сотых долей, то всех цифр в приближенном частном должно быть 4.

Возьмем теперь эту цифру 4 и припишем к ней столько нулей, сколько единиц означает она; получим 40 000⁷⁾. Теперь отделим в делителе слева (не обращая внимания на запятую) столько цифр, чтобы образовалось число, большее (или равное) 40 000; тогда делитель сделается 43 263. Остальные цифры делителя отбрасываем. В делимом возьмем слева столько цифр (не обращая внимания на запятую), чтобы в образованном ими числе укороченный делитель мог содержаться (не более 9 раз); тогда делимое будет 314 159. Остальные цифры делимого отбрасываем.

Разделив это делимое на делитель, находим первую цифру частного 7 и первый остаток 11 318.  После этого зачеркиваем в  делителе одну правую цифру  3 и делим  остаток  11318 на оставшиеся цифры делителя 4326. Получаем вторую цифру частного 2 и второй остаток 2666. Зачеркиваем в делителе еще одну цифру  справа, т. е.  6, и делим второй остаток на 432. Получаем третью цифру частного 6 и третий остаток 74. Продолжаем так действие  далее  (зачеркивая в делителе  при каждом   частном   делении   по   одной  цифре справа), пока не получим всех цифр частного. Наконец, в полученном частном ставим запятую так, чтобы последняя цифра справа выражала  единицы требуемого разряда (в нашем примере сотые доли).

Теперь объясним этот процесс сокращенного деления. Прежде всего приведем вопрос к нахождению частного не с точностью до 0,01, как требуется, а с точностью до целой единицы, причем делитель был бы число, не меньшее 40 000 (т. е. того числа, у которого первая цифра и число  нулей равны числу цифр в  частном).  Для этого  достаточно:   1)  увеличить   делимое   в 100 раз, от чего увеличится во столько же раз частное и, следовательно, погрешность его; 2) перенести в делимом и в делителе запятую вправо на одно и то же число цифр (от чего частное не изменится), именно на столько, чтобы делитель сделался не меньшим 40 000. Теперь вопрос приводится к нахождению с точностью до единицы частного:

314 159 265,3... : 43 203,9...

Отбросим в делителе дробную часть; от этого, по доказанному выше, мы увеличим частное на число, меньшее этого частного, деленного на целую часть делителя. Но частное, содержа в целой части 4 цифры, менее 10 000, а целая часть делителя взята нами больше 40 000; значит, мы увеличим частное на число, меньшее 10 000 : 40 000, т. е. меньшее ¹/₄. Запомнив это, будем находить частное:

314 159 265,3. . . : 43 263.

Чтобы найти первую цифру частного, т. е. тысячи, мы должны разделить число тысяч делимого (314159) на делитель. Это мы и сделали в нашем сокращенном делении, получив цифру 7. Остаток от точного делимого будет 11 318 265,3... Этот остаток надо разделить на 43 263. Разделив оба эти числа на 10, мы приводим вопрос к делению 1131826,53... на 4326,3. Это частное имеет в целой части только 3 цифры; значит, оно меньше 1000. Отбросив в делителе дробь, мы еще увеличим частное на число, меньшее 1000 : 4000, т. е. меньше, чем на ¹/₄; Запомнив это, будем находить частное
1 131 826,53... : 4326. Чтобы найти первую цифру этого частного, т. е. сотни, надо число сотен делимого (11 318) разделить на делитель (4320). Это мы и сделали в нашем сокращенном делении, получив в частном вторую цифру 2.

Продолжая эти рассуждения далее, увидим, что при получения каждой цифры частного мы его увеличиваем менее, чем на ¹/₄.

Так как всех цифр в частном 4, то в результате мы увеличим частное менее чем на 1. С другой стороны, не деля остатка 31... на последний делитель 43, мы уменьшаем частное менее, чем на 1. Значит, мы увеличили его менее, чем на 1, и уменьшили менее, чем на 1; следовательно, результат, во всяком случае, точен до 1.

Остается теперь поставить запятую на надлежащем месте, получим 72,61 с точностью до 0,01.

199. Замечание. Приведенное правило и его объяснение не требуют никакого изменения в том частном случае, когда какое-нибудь  делимое  содержит соответствующий делитель  10 раз. Тогда ставим в частном число 10 (в скобках). Продолжая деление, увидим, что все следующие цифры частного должны быть нули. Пусть, напр., требуется найти частное

485 172,923...: 78,254342...

с точностью до 1. Применяя правило, найдем.

Третье делимое (7823) содержит соответствующий делитель (782) десять раз; пишем в частном число 10. Следующая цифра в  частном оказалась 0.  Искомое частное  есть число   61(10)0, т. е. 6200.

В этом случае приближенное частное больше точного частного. Действительно, цифры частного, найденные раньше, чем представился этот случай, не могут быть меньше, чем бы следовало, так как мы при каждом частном делении брали делители, которые меньше точного делителя. Значит, первые две цифры точного частного должны выражать число, не большее 01, поэтому оно меньше числа 6200.

Примером применения предыдущих правил может служить следующая задача.

200. Задача. Вычислить с точностью до ¹/₁₀₀  выражение:

Это выражение есть частное; поэтому, прежде всего, определим, сколько должно быть цифр в этом частном, а для этого надо знать высший разряд его.
Начав извлечение √348  и √127 , мы увидим, что первый корень в целой своей части содержит 18, а второй 11; следовательно, числитель равен приблизительно 7, знаменатель равен приблизительно  2.  Значит, высший разряд в частном — простые единицы. Так как частное требуется вычислить до сотых долей, то в нем должно быть 3 цифры. Поэтому знаменатель мы должны вычислить настолько точно, чтобы из него можно было (по правилу сокращенного деления) образовать число, большее 3000, для чего достаточно вычислить его 5 цифр, а для этого необходимо (по правилу сокращенного сложения) найти отдельные корни знаменателя с 6 цифрами. Произведя извлечение, найдем:

√2 =1,41421;  √3  = 1,73205;  √5 =2,23606;  √12  =3,46410 и затем:

√2 + √3  + √5  — √12 =1,9183 (до ¹/₁₀₀₀₀ ).

Теперь надо вычислить числитель с такой точностью, чтобы из первых его цифр можно было образовать число, большее 19183. Так как числитель равен приблизительно 7, то сверх целого числа в нем потребуется вычислить еще 4 десятичных знака, а так как числитель есть разность, то уменьшаемое и вычитаемое надо вычислить также до четвертого десятичного знака. Извлечением находим:

√348   =18,6547;  √127 = 11,2694; √348  — √127  = 7,3853.

Остается разделить по правилу сокращенного деления 73 853 п.1 19 183, после чего получим:

x = 3,85 (до ¹/₁₀₀ )

Глава  четвертая.

Преобразование иррациональных выражений.

201. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Алгебраическое выражение называется рациональным относительно какой-нибудь буквы, входящей в это выражение, если эта буква не стоит под знаком радикала; в противном случае выражение называется иррациональным относительно этой буквы. Напр., выражение 3a +2 √x  есть рациональное относительно а и иррациональное относительно х.

Если говорят: „рациональное (или иррациональное) алгебраическое выражение", не добавляя относительно каких букв, то предполагается, что оно рационально (или иррационально) относительно всех букв, входящих в выражение.

202. Основное свойство радикала. Заметим, что корни (радикалы), о которых мы будем говорить в этой главе, разумеются только арифметические. Возьмем какой-нибудь радикал, напр. ³√a, и возвысим подкоренное число в какую-нибудь степень, напр, в квадрат; вместе с тем умножим показатель радикала на показатель той степени, в какую мы возвысили подкоренное число, т. е. в нашем случае умножим на 2. Тогда получим новый радикал: ⁶√a². Докажем, что от этих двух операций величина радикала не изменилась.

Предположим, что мы вычислили ³√a и получили некоторое число х. Тогда мы можем написать равенства:

х = ³√a    и    х³ = а.

Возвысив  обе  части последнего равенства в  квадрат,  получим:

(х³)²= а² , т. е. х⁶ = а².

Из последнего равенства видно, что х = ⁶√a².

Таким образом, одно и то же число  х равно и  ³√a, и ⁶√a² следовательно:

³√a = ⁶√a².

Подобно этому можно убедиться, что:

Вообще, величина радикала не изменится, если подкоренное выражение возвысим в какую-нибудь степень и вместе с тем показатель радикала умножим на показатель той степени, в которую возвысили подкоренное выражение.

203. Некоторые преобразования радикалов.

а) Радикалы разных степеней можно привести к одинаковым показателям (подобно тому, как дроби с разными знаменателями, можно привести к одному знаменателю). Для этого достаточно найти общее кратное (лучше всего наименьшее)  показателей всех радикалов и умножить показатель каждого из них на соответствующий  дополнительный  множитель,  возвысив, вместе с тем, каждое подкоренное выражение в надлежащую степень.

Пример.

√ax     ^;    3√a^{2      ;   6}√x

Наименьшее кратное показателей радикалов есть 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3, для второго 2 и для третьего 1. Тогда

б) Если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно сократить обоих показателей.

Примеры.

в) Если подкоренное выражение есть произведение нескольких степеней, показатели которых имеют один и тот же общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно сократить все показатели.

Пример.

204. Подобные радикалы. Подобными радикалами называются такие, у которых одинаковы подкоренные выражения и одинаковы показатели радикалов. Таковы, напр., выражения:

+3a ³√xy    и    —5b ³√xy

чтобы определить, подобны ли между  собою данные радикалы, следует  предварительно  упростить их,  т.  е   если возможно:

1) вынести из-под знака радикала тех множителей, из которых можно извлечь корень (отдел 6 глава 6   § 169, а);

2) освободится   под  радикалами  от  знаменателей   дробей (отдел 6 глава 6  § 169, в);

3) понизить степень радикала, сократив показатели радикала и подкоренного числа на их общий множитель, если такой есть.

Примеры.

1) Радикалы ³√8ax³ и ⁶√64a²y¹² окажутся подобными, если упростим их:

³√8ax³ = 2x ³√a  ;   ⁶√64a²y¹² = 2y^{2  6}√a²  = 2y^{2  3}√a

2) Три радикала    окажутся подобными, если освободимся под радикалами от знаменателей:

205. Действия над иррациональными одночленами.

а) Сложение и вычитание. Чтобы сложить или вычесть иррациональные одночлены, соединяют их знаками плюс или минус и делают приведений подобных членов, если они окажутся.

Примеры.

б) Умножение. Мы видели прежде (отдел 6 глава 6  § 168), что для извлечения корня из произведения достаточно извлечь его из каждого сомножителя  отдельно;  значит, наоборот, чтобы  перемножить несколько радикалов одинаковой степени, достаточно перемножить подкоренные числа. Так:

√a √b √c  = √abc ;    ³√x   ³√y =  ³√xy

Если для перемножения даны радикалы c различными показателями, то  их можно предварительно привести к одному показателю.

Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.

Примеры.

в) Деление. Мы знаем, что для извлечения корня из дрбби достаточно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно (отдел 6 глава 6 § 168, в); значит, и наоборот:

т. е., чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, достаточно разделить их подкоренные числа.

Радикалы с различными показателями можно привести предварительно к одинаковым показателям.

Если есть коэффициенты, то их делят.

Примеры.

г) Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное число.

Так.

Примеры.

д) Извлечение корня. Чтобы извлечь корень  из радикала, достаточно перемножить их показателей.

Так:

Чтобы убедиться в этом, положим, что . Возвысив обе части этого равенства сначала в квадрат, а потом в куб, найдем:

³√a = x² ;      a = (x² )³ = x⁶

Отсюда видно, что  x =  ⁶√a , и, следовательно,

Пример.

Подведя  сомножитель  2х  под  знак  радикала 3-й  степени, получим:

206 Действия над иррациональными многочленами производятся по тем же правилам, какие были выведены для многочленов рациональных. Напр.:

207. Освобождение знаменателя дроби от радикалов. При вычислении дробных выражений, знаменатели которых содержат радикалы, бывает полезно предварительно преобразовать дробь так, чтобы знаменатель ее не содержал радикалов. Пусть, напр., надо вычислить:

Мы можем производить вычисление или прямо по  этой формуле, или же предварительно сделать ее знаменатель рациональным, для чего достаточно умножить оба члена данной дроби на сумму √3 + √2  :

Формула (2) удобнее для вычисления, чем формула (1), во-первых, потому, что она содержит в себе всего 3 действия, а не 4, как формула (1), а, во-вторых, и потому, что при вычислении, которое  по необходимости может быть только  приближенное, погрешность результата сравнительно просто определяется по формуле (2). Так, найдя √3 и √2 с точностью до половины тысячной доли, получим:

x = 1,732 + 1,414 = 3,146.

Результат этот точен до ¹/₂ + ¹/₂ тысячной, т. е. до ¹/₁₀₀₀ .

Приведем   некоторые   простейшие   примеры   освобождения знаменателей от квадратных радикалов.

1)    .   Умножим оба члена дроби на √5

Если под знаком радикала стоит целое составное число, то иногда бывает полезно разложить его на простые сомножители с целью определить, каких множителей недостает в нем для того, чтобы оно было полным квадратом. Тогда достаточно умножить оба члена дроби на квадратный корень из произведения только недостающих сомножителей. Напр.:

Умножив затем оба члена дроби на √2 , получим:

______________