|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ответы и решения 2 sin ( π/4 + x ) cos ( π/4 +x) = sin ( π/2 + 2x) = cos 2x = cos2x — sin2x. Дальше задача решается, как 119. Отв. х = π/4 (4n — 1); х = nπ, ________________________________________________ 121. Левая часть равна 2—sin 3х , правая равна 1 — 2 cos (π/4 — 3x/2 ) sin ( π/4 — 3x/2) =1 — sin ( π/2 — 3х) =1—cos 3х. Уравнение принимает вид cos 3х — sin 3х + l = 0. Решим его по (первому) способу задачи 93, преобразовав cos 3х — sin 3х к виду √2 sin ( π/4 — 3х) . Получим sin ( π/4 — 3х) = — 1/√2 т.е. sin ( 3х — π/4 ) = 1/√2 Следовательно, 3х — π/4 = (— 1)n π/4 + πn, т. е. 3х = π/4 [1 + (— 1)n] + πn. При четном п выражение в квадратных cкобках равно 2, а при нечетном оно равно нулю. Поэтому, если положить п =2п' (п'—целое число), то получим 3х = π/2 +2πn', а если положить п =2п'+ 1, то получим 3х = π(2п '+1). Другое решение. Помимо второго способа, указанного в задаче 93 (он вводит лишние корни), можно применить здесь (а также и в задаче 93) следующий способ. Получив, как выше, уравнение cos 3х — sin 3х + l = 0, применим формулы 1 + cos 3х = 2 cos2 3x/2 и sin 3х = 2 sin 3x/2 cos 3x/2. Получим уравнение, которое распадается на два. Одно (cos 3x/2 = 0 ) даст 3x/2 = π/2 (2п + 1), т.е. 3х = π(2п + 1). Другое уравнение (cos 3x/2 — sin 3x/2 = 0) даст 3x/2 = π/4 + πn, т. е. 3х = π/2 +2πn, Отв. х = π/3(2n + 1); х = π/6 (4n + 1). ________________________________________________ 122. Представим 1 + sin 2х в виде (cos2х + sin2х) +2sin х cos х = (cos х + sin х)2 и заменим tg х на sin x/cos x . Затем приведем все члены к общему знаменателю (cos х) и отбросим его, предлолагая, что cos х =/= 0. Получим уравнение (cos х — sin х) (cos х + sin х)2 — (cos х + sin х) = 0. Оно распадается на два: первое cos х + sin х = 0 имеет решение х = π/4(4n — 1), второе cos2х — sin2х — 1 = 0, или cos 2х —1= 0, имеет решение х = πn Отв. х = π/4(4n — 1); х = πn ________________________________________________ 123. Представим 1—sin 2х в виде (cos х — sin х )2, a cos 2x в виде (cos x + sin x) (cos x — sin x). Сократим дробь на cos x — sin x, пред. полагая, что эта величина не равна нулю. Получим уравнение
Освободившись от знаменателя (в том же предположении), получим (cos х + sin х) (cos x — sin х) — (cos х+ sin х) = 0 или (cos х — sin х — 1) (cos х + sin х) = 0. Решив уравнение cos х + sin х = 0, находим х = πn — π/4. Уравнение cos х — sin х — 1= 0 можно решить так (ср. задачу 121). Представим его в виде √2 sin ( π/4 — х) = 1, т.е. sin ( х — π/4) = — 1/√2 Отсюда х — π/4 = (— 1)n ( — π/4 )+ πn. При четном n ( = 2m) имеем х = πn = 2πm. При нечетном п ( = 2т—1) имеем х = π/2 + πn = π/2 (4т — 1), Применить другой способ задачи 121. Отв. х = π/4 (4n — 1); х = 2πn; х = π/2 (4n — 1). ________________________________________________ 124. Правая часть равна cos 2х, а левая (cos х + sin х)2(cos х — sin х) = (cos х +sin х) (cos2 х—sin2 х) = (cos х + sin х) cos 2х, Отв. х = π/4 (2n + 1); х = 2πn; х = π/2 (4n + 1). ________________________________________________
(в предположении, что cos x =/= 0). К правой части применим формулу (13). Получим
Теперь уравнение примет вид 1/4 — sin2 х = — (1/4 — sin2 х) откуда sin2 х = 1/4 , т е. sin х = 1/2 или sin х = — 1/2. Два решения х = 180°п + (— 1)n 30° и х = 180°п — (— 1)n 30° можно записать одной формулой: х = 180°п ± 30°. Отв. х = 30°(6п ± 1). ________________________________________________ 126. Левая часть равна sin 60° cos x ; правая равна tg x cos4 x + ctg x sin4 x = sin x cos3 x + cos x sin3 x (при последнем преобразовании предполагается, что cos x =/= 0 и sin x =/= 0). Это выражение равно sin х cos х (cos2 х + sin2 х) = sin х cos х. Уравнение приводится к виду cos х (sin 60°—sin x) = 0. Оно распадается на два, одно из которых (cos х = 0) дает постороннее решение. Отв. х =180°п + (— 1)n 60° ________________________________________________ 127. Применив формулу sec2 х — 1 = tg2 х (сокращая на sin х мы предполагаем, что sin х =/= 0 ). Левая часть равна
Уравнение приводится к виду tg х (tg х —√3 ) = 0 и распадается на два, одно из которых, именно tg x = 0, дает посторонние решения (ибо если tg х = 0, то и sin х = 0). Отв. х = 60°(3п +1); х = 2πn. ________________________________________________ 128. Выражение tg x/2 + ctg x/2 преобрaзуется к виду
Получим уравнение
Отв. х = π/4 (2n + 1). ________________________________________________ 129. Левая часть равна 2√2 • √2/2 ( sin х + cos х) ; прaвaя равна Получаем уравнение 2(sin х +cos х ) =2(1— sin х ) или (1—cos х ) — 2 sin х = 0 или 2 sin2 x/2 — 4 sin x/2 cos x/2 = 0. Отв. х = 2πn; х = 2(πn + агс tg 2). ________________________________________________ 130. Дробь в левой части равна 2/√3 (sin 2х — cos 2х tg х ) cos2 х = 2/√3 (sin 2х cos х — cos 2х sin х)cos х = 2/√3 sin х cos х. Правая часть равна (cos2 х + sin2 х) (cos2 х — sin2 х) = cos2 х — sin2 х (переходить к двойным углам здесь нерационально). Уравнение запишем в виде: (1—cos2 х) + sin2 х — 2/√3 sin х cos х = 0 или sin2 х — 2/√3 sin х cos х = 0. Отв. x = 180°п; x = 180°п +30°. ________________________________________________ 131. Левая часть равна 3 sin х—4 sin3 х, а правая 4 sin x (1—2 sin2 x). Получаем уравнение sin x (4sin2 x — 1) = 0. Отв. x = 180°п; x = 180°п ± 30°. ________________________________________________
Числитель этого выражения равен cos ( x — x/2) = cos x/2, так что в правой части получаем ctg x/2. Левая часть равна
Уравнение принимает вид
Вынося за скобку ctg x/2, получаем
Отв. х = πn + π/4; х = 2πn + π. ________________________________________________
Вся дробь равна sin 2х. Уравнение принимает вид sin 2х — 2 sin (45°+ х ) cos(45°+ х) = 0 или sin 2х — cos 2х = 0, откуда tg 2х = l. Отв. х =90° n +22°30'. ________________________________________________ tg (х — 45°) tg (х + 45°) = tg (х — 45°) ctg (45° — х) = —1; при этом предполагается, что х =/= 45°(2п+1), ибо тогда один из сомножителей обращается в нуль, а другой — в бесконечность. Знаменатель правой части преобразуется к виду
при этом предполагается, что х =/= 180°п, ибо тогда либо tg x/2, либо ctg x/2 теряет смысл (обращается в бесконечность). Получаем уравнение
которое (в предположении, что х =/= 180°п) приводится к виду tg х cos 2х = 0. Последнее уравнение имеет решения х = 180°п и х = 45°(2п+1), но они не соответствуют сделанным предположениям. Отв. Уравнение не имеет решений. ________________________________________________ 135. Правая часть равна — tg х (см. предыдущую задачу). Левую же часть представим в виде
Получим уравнение • tg 2x = — tg x. Его можно написать в виде tg 2x = tg (— x); отсюда заключаем, что углы 2х и — x разнятся на 180°п и из уравнения 2x = —x + l80°n находим х = 60°п. Отв. х = 60°п ; ________________________________________________
Получаем уравнение
Применив формулы sin 2x =2 sin x cos x и ctg x = cos x/sin x , приведем уравнение к виду cos x (2sin2x— cos 2x — cos 2α) = 0. Уравнение 2sin2x— cos 2x — cos 2α = 0, если в нем написать 1 — cos 2x вместо 2sin2x , дает 2cos 2x = l — cos 2α, откуда cos 2x = sin2α. Отв. х = π/2(2n + 1); х = πn ± 1/2 arccos (sin2α). ________________________________________________ 137. Левая часть, равна 1 — sin x; знаменатель правой части равен tg x/2 — tg ( π/2 + x/2 ) = tg x/2 + ctg x/2 Это выражение приводится к виду 2/sin x . Получаем уравнение 1 — sin x = sin x. Отв. х = 180°п + (— 1)n 30°. ________________________________________________ 138. Левая часть равна tg x, Правая (ср. задачу 136) равна 1+2 tg x. Отв. х = 45°(4п— 1). ________________________________________________
Уравнение принимает вид 1 — cos 2х + sin 2х = 0, или 2 sin2 х + 2 sin х cos х = 0. Отв. х = πn; х = πn — π/4. ________________________________________________ 140. Уравнение представим (см. предыдущую задачу) в виде
После алгебраических преобразований получим 3 — 2 cos 2х + cos2 2х + 2 sin2 2х = 9/2 Заменив sin2 2х на 1 — cos2 2х, получим уравнение cos2 2х + 2 cos 2x — 1/2 = 0. Оно дает cos 2x = — 1 + √6/2 ( значение 2x = — 1 — √6/2 отбрасываем, ибо его абсолютная величина больше, чем 1). Отв. х = πn ± 1/2 arccos (— 1 + √6/2). ________________________________________________ |
|
|
, получим в левой части 
т.е. ctg x/2 (tg x — l ) = 0.
