ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пусть φ — произвольный угол . На конечной стороне этого угла возьмем вектор  произвольной длины r. Абсциссу этого вектора обозначим x, а ординату-    у. Как   было   показано   в разделе векторы, отношения ^y/_r и ^x/_r зависят   лишь   от направления   вектора ,  определяемого  углом  φ,  и  не зависят  от  длины   векора   r. Поэтому   . эти  величины являются своеобразными характеристиками  угла φ.

Отношение ординаты вектора, образующего с осью 0х угол φ, к длине этого вектора называется синусом угла φ (обозначается sinφ):

sinφ=  ^y/_r .                                                 (1)

Отношение абсциссы вектора, образующего с осью 0х угол φ, к длине этого вектора называется косинусом угла φ (обозначается cosφ):

cosφ = ^x/_r.                                                   (2)

Отношение синуса угла φ к его косинусу называется тангенсом угла φ (обозначается tgφ).

                                             (3)

Отношение косинуса угла φ к его синусу называется котангенсом угла φ(обозначается ctgφ): .

                                             (4)

Величина,  обратная  косинусу угла  φ,     называется  секансом угла φ   (обозначается  secφ):

.                                               (5)

Величина, обратная синусу угла φ, называется косекансом угла φ (обозначается соsесφ):

                                           (6)

Легко понять, что для острых углов введенные таким образом определения полностью совпадают с теми, которые уже известны нам  по  курсу  геометрии.

Синус и косинус определены для любого угла φ, поскольку выражения ^x/_r и ^y/_r имеют смысл лри любом положительном r.

Что же касается tgφ, ctgφ, secφ и соsесφ, то они определены не для всякого угла φ.
Тангенс и секанс в силу (3) и (5) определены лишь для тех углов, косинусы которых отличны от нуля, а котангенс и косеканс в силу (4) и (6) —для тех углов, синусы которых  отличны от  нуля.

Если    cosφ = ^x/_r = 0, то х =  0. Это может быть лишь  тогда, когда вектор  перпендикулярен оси абсцисс (рис. а и б).

В этом случае угол φ может принимать значения ±90°;   ±270°;   ±450°;   ±630°;   ...   .
Все эти   значения  можно  записать    одной формулой:

φ = 90° (2n + 1),

где n — любое целое число (положительное, отрицательное или  нуль).
Таким образом,
тангенс и секанс определены для всех углов φ, кроме углов
φ = 90° (2n + 1)

Если sinφ = y/_r = 0, то y =  0. Это возможно лишь тогда, когда вектор  лежит на оси абсцисс (рис. а и б). В этом случае угол  φ может принимать значения: + 0°;   ±180°;   ±360°;   ±540°;   .... Все эти значения можно записать одной формулой

φ = 180°n,

где  n —любое целое число  (положительное, отрицательное или нуль.) Поэтому
котангенс и косеканс определены для всех углов φ, кроме φ = 180° n,

Если φ≠ 90°m (m-целое число), то определены и tg φ и ctg φ.причем:

Итак,

                      (7)

Каждому углу φ соответствуют вполне определенные значения sin φ и cos φ. Кроме того, каждому углу  φ ≠ 90° (2n+ 1) соответствуют вполне определенные значения tgφ и secφ, а каждому углу φ ≠ 180°n — вполне определенные значения ctgφ и  соsесφ.

Поэтому sin φ, cos φ, tg φ, ctg φ, sec φ, cosec φ являются функциями угла φ. Эти функции называются тригонометрическими функциями угла.

Ввиду простой связи между углами и дугами  можно говорить о тригонометрических функциях не только угла, но и дуги. Под синусом (косинусом, тангенсом и т. д.) дуги в α дуговых градусов понимают число, равное синусу (косинусу, тангенсу и т. д.) угла в α угловых градусов.

Упражнения

1. Для  каких из данных  углов  65°,  90°, 180°, 270°,  720°, 810°, 900° не определены:
а) тангенс;  б)  котангенс?

2. (У с т н о.)   Найти tg α, если известно, что:

а)  sin α = 0,6; cos α = 0,8;

б)  sin α = 0;  cos α = 1;

в)  sin α = —1; cos α = 0.

3. Существует ли  угол α,  для   которого  и tg α и ctg α не определены?

4. Найти   значения   тригонометрических   функций  угла φ, который образует с осью х вектор 0A с координатами (—2, 2).

5. Найти   значения   тригонометрических   функций   угла φ, который образует с осью х вектор 0A с координатами (1, —\/3).