—инус суммы и разности двух углов

ѕолученные в предыдущем разделе формулы дл¤ cos (α ± β) мы используем теперь при выводе соответствующих формул дл¤ sin (α ± β).

ƒл¤ этого придетс¤ воспользоватьс¤ формулами приведени¤.

ѕредставим sin (α + β) в виде:

sin (α + β)  = cos[ ^π/₂ Ч(α + β)].

ѕосле этого заметим, что

^π/₂ Ч(α + β) =( ^π/₂ Ч α ) Ч β.

—ледовательно,

sin (α + β)  = cos[( ^π/₂ Ч α ) Ч β] = cos( ^π/₂ Ч α ) cos β + sin ( ^π/₂ Ч α ) sin β =

= sin α Х cos β + sin β Х cos α.

»так,

sin (α + β)  = sin α Х cos β + sin β Х cos α.         (1)

—инус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса второго угла на косинус первого.

Ќапример,

sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° Х cos 45° + + sin45°.cos60° =

‘ормула (1) представл¤ет собой тождество, то есть равенство, справедливое при любых значени¤х α и β. ¬ частности, оно должно быть верным, если β заменить на Ч β. ¬ результате такой замены мы получим:

sin (α Ч β)  = sin α Х cos (Ч β) + sin (Ч β) Х cos α.   = sin α Х cos β Ч sin β Х cos α.

»так,

sin (α Ч β)  = sin α Х cos β Ч sin β Х cos α.              (2)

—инус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса второго угла на косинус первого.

Ќапример,

sin 15° = sin (45°Ч30°) = sin 45° Х cos 30° Ч sin 30° Х cos 45° =

”пражнени¤

1. ¬ычислить:

а)  sin 19° Х cos 26° + sin 26° Х cos 19°;

б)  sin 46° Х cos 44° + cos 46° Х sin 44°;

в) sin 61° Х cos 31° Ч cos 61° Х sin 31°;

г) sin 53° Х cos 7° Ч cos 53° Х sin (Ч 7°);

д) sin ( Ч 15°) Х cos 75°  +  cos 15° Х sin 75°.

2.”простить выражени¤ :

а).   cos (25° + α) Х sin (15° Ч α) + sin (25° + α) Х cos (15°Чα).

б).   sin (96° Ч α) Х cos (36° + α) Ч cos (96° Ч α) Х sin (36° + α).

в).   sin (α  + β) Х cos (α Ч β) Ч sin (α Ч β) Х cos (α + β).

г).   ctg α sin 2α  Ч cos 2α.

3. Ќайти sin (α Ч ^π/₃ ) , если sin α = Ч 0,8.

4.  Ќайти sin (α + β)  и  sin (α Ч β), если sin α = ^\/3/₄, cos β =  Ч^\/13/₄   причем 0< α < ^π/₂;     ^π/₂< β < π

5.   Ќайти sin (α + β)  и  sin (α Ч β), если  известно, что cos α = ⁴/₅, sin β = Ч ⁵/₁₃, причем углы α и β  оканчиваютс¤ в разных четверт¤х.

6. ¬ычислить:

а). sin  ( arcsin ¹/₃ +  arccos ²/₃ )

б). sin  [ arcsin ¹/₂ +  arccos ( Ч ²/₃ ) ]

в). sin  ( arctg  3 Ч  arctg  2 )

г). sin  [ arcsin (Ч ¹/₇ ) +  arccos(Ч ¹/₂ )]