| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО |
|
Тригонометрические уравнения В этой главе был получен ряд важных тригонометрических тождеств. Сейчас на конкретных примерах мы покажем, как эти тождества можно использовать для решения тригонометрических уравнений. Пример 1. Решить уравнение tg x + tg (π/4 + x ) = —2. Используя формулу для тангенса суммы двух углов, получаем:
Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:
Обозначив tg x через у, мы приходим к алгебраическому уравнению
или y (1—y) + 1+ y = —2(1—у), откуда y = ± \/3. Итак, либо tg x = \/3 и тогда х = π/3+ nπ, либо tg x = — \/3 и тогда х = —π/3+ kπ, где n и k — любые целые числа. Обе эти группы решений можно представить одной формулой х = ± π/3+ nπ Ответ. х = ± π/3+ nπ Пример 2. Решить уравнение 3 cos 2x = 7 sin x. Представим cos 2x как cos2 x — sin2 x. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 3 (cos2 x — sin2 x) =7 sin x. Заменяя cos2 x на 1 —sin2 x, получаем: 3 (1 —2 sin2 x) = 7 sin x. Обозначая sin x через у, приходим к следующему квадратному уравнению: — 6у2 — 7у + 3 = 0, откуда y1 = 1/3 ; y2 = 3/2. Вспоминая, что у = sin x, получаем: либо sin x = 1/3, либо sin x = 3/2. Но второе невозможно: синус любого угла по абсолютной величине не превышает единицы. Поэтому sin x = 1/3, откуда x = (— 1)n arcsin 1/3 + nπ, где n — любое целое число. Пример 3. Решить уравнение 2sin2 x + cos2 x = 3/2 sin 2x Представив sin 2x в виде 2sin x cos x, придем к однородному уравнению 2sin2 x + cos2 x = 3 sin x cos x. Разделив обе части этого уравнения на cos2 x, получим: . 2tg2 x + 1 =3tg x. Отсюда (tg x)1 = 1, или x = π/4+ nπ (tg x)2 = 1/2 , или x = arctg 1/2 + kπ. Ответ. x = π/4+ nπ, x = arctg 1/2 + kπ, где n и k—любые целые числа. Пример 4. Решить уравнение 1 + cos x + sin x = 0. Представим 1 + cos x как 2 cos2 x/2 , a sin x как 2 sin x/2 cos x/2 . Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2 cos2 x/2 + 2 sin x/2 cos x/2 = 0. Поэтому 2 cos x/2 (cos x/2 + sin x/2 ) = 0. Если cos x/2 = 0, то x/2 = π/2 + nπ и, следовательно, х = π + 2nπ. Если cos x/2 + sin x/2 =0 (однородное уравнение), то 1 + tg x/2 = 0, откуда tg x/2 = — 1; x/2 = — π/4 + kπ. Следовательно, х = — π/2 + 2kπ. Ответ. х = π + 2nπ , х = — π/2 + 2kπ; где n и k — любые целые числа. Пример 5. Решить уравнение cos 2х = cos 6x. Перепишем данное уравнение в виде cos 2х — cos 6х = 0 и используем формулу для разности косинусов двух углов. В результате получим:
или 2 sin 4x sin 2x = 0. В таком случае либо sin2 x = 0 и тогда 2х = mπ, х = mπ/2, Обе группы корней можно представить одной формулой x = kπ/4. Ответ. x = kπ/4. Пример 6. Решить уравнение cos 4x cos 2x = cos 5x cos x. Представим произведения cos 4x cos 2x и cos 5x cos x в виде (см. раздел): cos 4x cos 2x = 1/2 (cos 6x + cos 2x); cos 5x cos x = 1/2 (cos 6x + cos 4x). Тогда данное уравнение можно переписать в виде: 1/2 (cos 6x + cos 2x) = 1/2 (cos 6x + cos 4x) Отсюда cos 2x = cos 4x cos 2x — cos 4x = 0; — 2 sin 3х • sin (— х) = 0; 2 sin 3х • sin х = 0. Поэтому либо sin х = 0 и тогда х = nπ. либо sin 3х = 0 и тогда 3x = kπ, x = kπ/3. Очевидно, что обе группы корней можно записать одной формулой x = mπ/3 Ответ. x = mπ/3 Пример 7. Решить уравнение tg 3х — tg x = 0. Используя формулу для разности тангенсов двух углов, получаем:
откуда sin 2х = 0, 2х = mπ; х = mπ/2. Из этих значений х нужно отбросить как посторонние те, при которых хотя бы одно из выражений cos 3х и cos x обращается в нуль. Выражение cos x обращается в нуль при х = π/2 + kπ. Поэтому из полученных ранее значений х = mπ/2 остаются лишь значения х = mπ. Выражение cos 3х обращается в нуль при условии, что 3х = π/2 + nπ или х = π/6 + kπ/3 = π/6 (2k + 1). Число (2k + 1) нечетное, а число 6 четное. Поэтому число (2k + 1)/6 не может быть целым и, следовательно, значения х = (2k + 1)π/6 не содержатся среди значений х = mπ. Таким образом, все числа вида х = mπ являются корнями данного уравнения. Ответ. х = mπ Пример 8. Решить уравнение sin2 2х + sin2 x = 1. Из тождества 1 — cos α = 2 sin2 α/2 вытекает, что
Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:
откуда cos 4х + cos 2x = 0. Это уравнение легко решается с помощью формулы для суммы косинусов двух углов, из которой получаем: 2 cos 3x • cos x = 0. Если cos х = 0, то х = π/2 + nπ если же cos 3x = 0, то 3x = π/2 + kπ откуда х = π/6 + kπ/3. Нетрудно понять, что вторая группа корней (х = π/6 + kπ/3) при k = 3n + 1 содержит в себе все корни первой группы (х = π/2 + nπ) Поэтому ответ к данной задаче можно выразить одной формулой: х = π/6 + kπ/3. Пример 9. Решить уравнение sin х — \/3 cos х = 1. Преобразуем выражение sin х — \/3 cos х, введя вспомогательный угол :
Теперь данное уравнение можно записать в виде: 2 sin ( x — π/3) = 1 откуда sin ( x — π/3) = 1/2 и, следовательно, x — π/3 = (— 1)n π/6 + nπ ; x = π/3 + (— 1)n π/6 + nπ Ответ. x = π/3 + (— 1)n π/6 + nπ Пример 10. Решить уравнение 5 sin x — cos х = 5. Это уравнение в принципе можно решать тем же способом, что и предыдущее уравнение: \/26 ( 5/ \/26 sin x — 1/ \/26 cos x ) = 5 \/26 sin (x — φ) = 5 где cos φ = 5/ \/26 ; sin φ = 1/ \/26 или φ = arctg 1/5 . Поэтому sin (x — arctg 1/5) = 5/ \/26 , откуда x — arctg 1/5 = (— 1)n arcsin 5/ \/26 + nπ x = arctg 1/5 + (— 1)n arcsin 5/ \/26 + nπ Но в данном случае лучше использовать другой метод решения, который приводит к более простому ответу. Введем в рассмотрение новую переменную у = tg x/2:
Тогда данное уравнение можно переписать в виде:
откуда 4y2 — 10y + 6 = 0; y1 = 1; y2 = 3/2 Вспоминая, что у = tg x/2, получаем: (x/2)1 = π/4 + nπ ; (x/2)2 = arctg 3/2 + kπ Следовательно, данное уравнение имеет две группы корней: х = π/2 + 2nπ и x = 2arctg 3/2 + 2kπ, где n и k — любые целые числа. Желающие могут проверить, что ответы, полученные двумя различными способами, выражают один и тот же результат. Вводить новую переменную у = tg x/2 можно лишь в том случае, если заранее известно, что x/2 =/= π/2 + 2nπ, или х =/= π + 2nπ. Таким образом, описанный способ решения уравнения a sin х + b cos х = с может привести к потере некоторых корней, а именно корней вида х =/= π + 2nπ. Такие корни требуют специальной проверки. Упражнения Решить уравнения: 1.(1254.) tg x — tg ( π/2 — x) = 1. 2.(1255.) sin ( π/3 + x ) — 1/2 sin x = \/3/2. 3.(1256.) cos(π/6 — x) — 0,5sin x = \/3/2 cos x 4.(1257.) cos 2x • cos x = sin2x • sin x. 5.(1258.) sin α • cos (α + x ) = cos α • sin (α + x). |
|
6.(1259.) cos ( π/3 + x ) — sin ( π/3 — x ) = 0. 7.(1260.) tg 3x • tg x = 1. 8.(1261.) sin 2x = 2 sin x. 9.(1262.) cos 2x = 2 sin2 x. 10.(1263). sin x • cos x =0,25. 11.(1264.) sin x + cos x/2 = 0. 12.(1265). sin4 x + cos4 x = sin 2x 13.(1266.) sin2 x/2 — cos2 x/2 =0,5. 14.(1267.) sin4 x/2 — cos4 x/2 =0,25. 15.(1268.) 5 cos 2x = \/56 sin x. 16.(1269.) cos 2x = 2 sin x — 1/2. 17.(1270.) tg x/2 • tgx = tg x/2 + tg x. 18.(1271.) tg 2x = 3 tg x. 19.(1272.) 20.(1273.) 2sin2 x = \/6 sin 2x-3cos2 x. 21.(1274.) cos2 x + 4 sin2 x = 2 sin 2x 22.(1275.) sin 2x + sin x • cos x = 2 cos 2x 23.(1276.) cos 7x • cos 3x = cos 4x. 24.(1277.) cos 3x • cos x = cos 7x • cos 5x. 25.(1278.) cos 2x • cos 3x = cos 5x • cos 6x 26.(1279.) sin x • sin 3x = sin 2x • sin 4x. 27.(1280.) sin 2x • cos 3x = sin 3x • cos 2x 28.(1281.) cos (α + x) • cos (α— x) + sin2 x = 0,5. 29.(1282.) cos x/2 = 1 + cos x 30.(1283.) 1 — cos x = sin x 31.(1284.) 1 + cos x + cos 2x = 0. 32.(1285). cos 2x = 1 + sin x 33.(1286.) 34.(1287.) sin x + sin 3x = 0. 35.(1288.) sin x — sin 3x = 0. 36.(1289.) sin (30° + x) — sin (60° — x) = 1. 37.(1290.) cos 2x + cos 6x = 0. 38.(1291.) cos 2x — cos 6x = 0. 39.(1292.) cos (x — α) — cos (x — β) = sin (β — α). 40.(1293.) sin 3x = cos 2x 41.(1294.) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0. 42.(1295.) cos x — cos 2x = sin 3x. 43.(1296.) sin x + sin 3x + sin 5x = 0. 44.(1297.) tg 5x + tg 3x = 0. 45.(1298.) tg 5x = tg 3x 46.(1299). tg 4x = tg 2x 47.(1300.) tg (α + x) + tg (α— x) = 0. 48.(1301). tg x/2 + tgx = tg 3x/2 49.(1302*.) tg x + tg 3x + tg 5x = 0. 50.(1303.) cos2 x + 3 cos2 x/2 = 2. 51.(1304.) sin2 x + sin2 3x + 1/2 cos 6x = 1. 52.(1305.) 53.(1306.) sin2 4x + 7cos2 6x + 1/2 cos 8x = 5. 54.(1307.) sin x — \/3 cos x = 1. 55.(1308.) \/3 sin x + cos x = \/2 56.(1309.) sin 5x + \/3 cos 5x = 2 sin 7x 57.(1310.) sin x — \/7 cos x = \/7 58.(1311.) 59.(1312.) sin x — cos x + tg x = 1. 60.(1313.) 2 sin x — 5 cos x + 2 tg x = 5. 61.(1314.) \/3 sin x — \/5 cos x = \/3 62.(1315.) sin 2x • tg x = 1. 63.(1316.) cos 4x + tg 2x = 1. 64.(1317.) cos x • tg 2 x/2 = — 3/2 ОТВЕТЫ
|
