Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 69. Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости (§ 32). Обозначим через φ величину угла между прямыми l₁ и  l₂, а через ψ — величину угла между направляющими векторами а и b  этих  прямых.

Тогда, если

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. 206,6), то φ = 180° — ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (1) § 20 имеем

следовательно,

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

        (1)

Если одна из прямых  (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача  1. Вычислить угол между прямыми

Направляющие векторы прямых имеют координаты:
а = (—√2 ; √2 ; —2), b = (√3; √3; √6).

По (формуле (1) находим

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n₁ = (3; 0; —12) и n₂ = (1; 1; —3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле (4) § 22 получаем

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D — середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

 Пусть СА и DB — направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3),
С(0; 6; 0), D (2; 0; 0).   Поэтому CA^> = (4; — 6;0), DB^>= (—2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.