| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО | |
|
РЕШЕНИЕ КОСОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ |
|
|
1. Теорема синусов |
|
|
При решении прямоугольных треугольников мы использовали только определения основных тригонометрических функций. Для решения же косоугольных треугольников нам потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и с — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; hа, lа и mа — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.
|
|
|
Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: |
|
|
|
|
|
Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC . Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА' описанного круга. Вспомогательный треугольник А'ВС прямоугольный, так как вписанный угол А'СВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём: а = 2Rsin A'. Если угол А острый, то А = А', так как вписанные углы A и A' опираются на одну и ту же дугу.
Итак, или A = А', или A' = а = 2R sin A. (1) Если угол A прямой, то а = 2R, sin A = 1 и равенство (1) также справедливо. Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак, а = 2R sin A; b = 2R sin В; с = 2R sin С, откуда
|
|
|
Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника. |
|
| Упражнения. | |
|
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: |
|
|
а2 =b2 + с2 - 2bc cos А b2 =c2 + a2 - 2ca cos B c2 =a2 + b2 - 2ab cos C
|
|
|
Доказательство. Докажем первое равенство. |
|
|
Случай 1. Угол A острый. Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно (см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 208), что
|
|
|
Случай 2. Угол A тупой. Из треугольника АВН найдём: Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство. |
|
|
Случай 3. Угол А прямой. В этом случае (по теореме Пифагора): а2 = b2 + с2 = b2 + с2 - 2bc cos А (так как cos А = 0). Итак, во всех случаях а2 =b2 + с2 - 2bc cos А
|
|
| Упражнения | |
|
1. Из геометрии известна формула Г е р о н а: S = \/р (р - а)(р - b) (р - с) (где р = (а+ b+c)/2 -полупериметр ), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам. |
|
|
2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S = 1/2 bc sin A. |
|
|
Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины. S = 1/2 b · hb (1) |
|
|
Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = hb = с sin A. Если угол A тупой, то ВН = hb = с sin ( Следовательно, во всех случаях hb = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу. |
|
|
Точно так же получим формулы: S = 1/2 ab sin C = 1/2 ac sin B |
|
|
3. На основании теоремы синусов: |
|
|
|
|
|
Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:
|
|
| Упражнения | |
|
Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:
|
|
|
(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с). |
|
|
Доказательство. В силу теоремы синусов имеем:
|
|
|
Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.
|
|
|
Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.Даны В, С и а; требуется найти b, с и А. |
|
|
Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным: А + В < 180°— будем считать выполненным. |
|
|
Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:
|
|
|
Площадь вычисляется по формуле:
|
|
|
Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла. |
|
|
Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с. |
|
|
Решение. Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы: с = \/ а2 + b2 — 2ab cos С |
|
|
Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов: |
|
|
а2 =b2 + с2 - 2bc cos А |
|
|
Так как 0 < А < 180°, то
|
|
|
7.Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. |
|
|
Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла. |
|
|
Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с |
|
|
Решение. |
|
|
С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны. Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А. |
|
|
Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:
|
|
|
откуда |
|
|
и затем С = 180° — (A + В). Сторона с находится по теореме синусов: |
|
|
С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым. |
a) |
|
Значения угла В вычисляются по теореме синусов: откуда |
|
|
Из чертежа b) видно, что при CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений. В этом случае При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.
|
b) |
|
Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника: В = А; С = 180° — 2А; с = 2AD = 2а cos A.
|
|
|
Задача. Даны три стороны треугольника; вычислить его углы. Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b — среднюю, а через с — большую: а < b < с. По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует. Будем считать, что с < а + b. Решение1. Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а2 =b2 + с2 - 2bc cos А
Аналогично найдём:
|
|
|
Решение 2. Вычислим сначала площадь треугольника (формула Герона):S = \/р (р - а)(р - b) (р - с) , где р = (а+ b+c)/2 Имеем далее: S = 1/2 bc sin A. откуда |
|
|
Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,
|
|
|
|
|
| Упражнения | |
| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО | |
— A, в обоих случаях sin A' = sin A, а потому
-A) = — с cos A. 
, откуда 
; 
(ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника)
и B2 = 180° - B1 Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.
и угол В вычислить нельзя.
и 
(тал как 0°< А <180°).
и, наконец, С =180°- (А + В).
и, наконец, С = 180° — (А + В)