Графики тригонометрических функций кратных углов

В первой части мы показали, как строятся графики тригонометрических функций
y = sin х    y — cos x   y = tg x   y = ctg x.

Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число.

Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x. Предположим, что при х = x₀ функция у = sin х принимает значение, равное у₀. Тогда

у₀ = sin x₀.

Преобразуем это соотношение следующим образом:

Итак,

Следовательно, функция у = sin ωx  при х = ^x0/ ω принимает   то же самое значение у₀, что и функция у = sin х при х = x₀. А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x. Поэтому график функции у = sin ωx получается путем "сжатия" графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х.

Например, график функции у  =  sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = sin ^x/₂ получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в ¹/₂ раза) вдоль оси х .

Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои  значения в ω раз чаще, чем функция
у = sin x, то период ее в  ω раз меньше периода функции у = sin x. Например, период функции у  =  sin 2х  равен ^2π/₂ = π, а период функции у = sin ^x/₂  равен  ^π / ^x/₂ = 4π .

Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple:

Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х, который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс.

График функции у = cos ^x/₂  получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х.

На рисунке  вы видите график функции у = tg 2x, полученный «сжатием» тангенсоиды  у =  tg x вдвое вдоль оси абсцисс.

График функции у = tg ^x/₂, полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х.

И, наконец, анимация, выполненная программой Maple:

Упражнения

1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций.

а).  y = sin ^4x/₃          г). y = tg  ^5x/₆         ж). y = cos ^2x/₃

б).  у= cos ^5x/₃        д). у = ctg  ^5x/₃         з). у= ctg ^x/₃

в).  y = tg ^4x/₃          е). у = sin ^2x/₃

2.  Определить периоды функций у =  sin (πх) и у =  tg ( ^πх/₂).

3.  Приведите два   примера  функции,   которые  принимают все значения   от —1 до +1   (включая   эти   два   числа)   и изменяются периодически с периодом 10.

4*. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два  числа)  и изменяются периодически с периодом ^π/₂.

5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1.

6*. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения  и   изменяются   периодически  с  периодом    5.