ОТДЕЛ ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.
(В скобках поставлены соответствующие параграфы.)
Основные сведения о пределах. Подъем кривой и производные. Возрастание или убывание функций. Скорость как производная от пространства. Ускорение как производная от скорости. Функция третьей степени. Графическое решение уравнения 3-й степени. Функция
вида у = a/x Уравнение прямой. Уравнение окружности. Уравнение эллипса. Уравнение гиперболы. Уравнение параболы. Первообразная функция. По данному закону
скорости найти закон пространства. По данному закону ускорения найти закон скорости. Делимость на х — а. Сложные радикалы. Дополнительные Сведения о неравенствах.
Основные сведения о пределах.
(Отдел 14 §§ 307-318.)
1. Найти предел, к которому стремится дробь
если х—>1.
Решение. Если х—>1, то числитель и знаменатель данной дроби стремятся к 0. Но так как 0/0 есть неопределенное выражение, то мы остаемся в неизвестности, к какому пределу стремится данная дробь (и даже стремится ли она к какому бы то ни было пределу), если х—>1.
Поступим так: предположим, что х равен не 1, а какому-нибудь переменному числу, приближающемуся к 1. Например, пусть x = l + h, где h какое-нибудь положительное число, стремящееся к нулю. Тогда величина данной дроби будет:
(сократить дробь на h мы имеем право, так как h =/=0).
Предположим теперь, что h—>0 и, следовательно, х—>1
Тот же самый предел мы найдем, если допустим, что x = 1— h где h какое-нибудь положительное число, стремящееся к 0. Таким образом, будет ли х приближаться к 1, оставаясь больше 1 или оставаясь меньше 1, предел данной дроби будет один и тот же, именно 3.
2. Найти предел, к которому стремится дробь
если х—>1.
3. То же, если х—>0
4. Найти пред.
5. Найти пред.
6. Найти пред.
Решение. Так как
то
7. Найти пред.
8. Найти пред.
9. Найти предел, к которому стремится дробь, если к числителю и знаменателю ее будем прикладывать одно и то же число, неограниченно возрастающее; другими словами, найти
Решение.
Таким образом, будет ли дробь a/b правильная (а< b), или неправильная (а>b), предел дроби, когда m—> ∞, оказывается один и тот же, именно 1. Отсюда следует, что правильная дробь, приближаясь к 1, увеличивается, а неправильная уменьшается. Таким образом, например.
10. Доказать, что если x >1, то
пред. (хn )n —> ∞ = ∞
если x < 1, то этот предел есть 0 (показатель n предполагается целым положительным).
Решение. Если х > 1, то можно принять, что х = 1 + h где h какое-нибудь положительное число. Тогда
Отсюда следует, что при h положительном
хn = ( 1 + h )n > 1 + nh
При безграничном возрастании n произведение nh, а поэтому и сумма 1 + nh, возрастает неограниченно; значит, пред. (хn )n —> ∞ = ∞.
Пусть теперь x<1. Положим тогда, что , где x1 >1. Тогда
Ho x1 >1; поэтому по доказанному выше пред. x1n = ∞ и, следовательно,
пред. ( x1n ) = 1/∞ = ∞
Отсюда, между прочим, вытекают те два предложения о бесконечных геометрических прогрессиях, которые были нами ранее доказаны другим путем (ч. I, отдел 10 глава 3 §§ 251,б и 251,в), а именно, что член aqn прогрессии при неограниченном возрастании n (т. е. при удалении от начала
прогрессии) безгранично возрастает, если прогрессия возрастающая (q>1), и безгранично убывает
(стремится к нулю), если прогрессия убывающая (q<1).
11. Доказать, что
12. Доказать, что
13. Доказать, что
14. Доказать, что
(n целое положительное число).
15. Найти
16. Построить график функции
y = x + 1/x
Найти предельное значение этой функции, если х —> 0, оставаясь положительным, и предельное значение, если х —> 0, оставаясь отрицательным.
Подъем кривой и производные.
(отдел 15 §§ 319-333.)
17. Начертить график функции у = х2 — 3х + 2; определить подъем кривой при х = 1; х = 2; х = 3; вообще при х = х .
18. То же для у = 3х2 — 2х + 5.
Найти производные от функций:
19. у = 5х у = — 71/2 х.
20. у = 3х— 4 у = 3 — 2х.
21. у = 10х2 у = — 0,8 х2 .
22. у = 3х2 — 2х + 4 у = х2 — 2х — 1.
Возрастание или убывание функций.
Maximum и minimum.
(отдел 15 §§ 334-335.)
23. Построить график функции
у = 1/4( 3х2 — 4х — 7)
между х = — 3 и х = 2. Определить (и проверить на чертеже), при каких значениях х функция возрастает и при каких убывает. Имеет ли функция minimum или maximum и чему он равен?
24. Проследить изменение функции:
у = 7х2 + 3х — 2,
т. е. определить, при каких значениях х функция возрастает при каких убывает и имеет ли maximum, или minimum и какие. То же для функций:
25. у = — х2 + 8х + 1 у = — 5х2 + 4х + 1
26. у = 1/2 х2 + 3х — 7 у = 0,1х2 — 1/4 х + 2
27. у = х2 + 3 у = — х2 + 7
28 у = х2 — 4х у = х2 + 4х
29. у = 2х2 — 8х + 5 у = — 3х2 + 9х — 9
30. у = 2 — 3х — х2 у = 7 + 2х — 3х2
31. у = (х —3)2+(3х —5)2
32. у = √х2 — 2х +10 у = √3 — 4х—3х2
Указание. Если радикал рассматривается только в положительном значении, то очевидно, что в двух последних примерах y изменяется в том же смысле, в каком изменяется подкоренная величина. Поэтому вопрос приводится к рассмотрению изменения трехчленов х2 — 2х +10 и 3 — 4х—3х2
Maximum и minimum.
(отдел 15§§ 334-335.)
33 Данное число а разделить на такие две части, чтобы произведение их было наибольшее из всех возможных.
Решение. Пусть одна часть, х, тогда другая часть равна а — х и их произведение будет х (а — х) = ах — х2 . Производная этого двучлена есть а — 2х. Из признаков возрастания и убывания функций (§ 335) следует, что
если а — 2х > 0, т. е. х < 1/2 a , то функция возрастает;
если а — 2х < 0, т. е. х > 1/2 a , то функция убывает.
Чиячит при х = 1/2 a наша функция получает maximum. Тогда другая часть будет равна .-a — 1/2 a = 1/2 a, т. е. обе части окажутся одинаковы.
Мы приходим таким образом к следующему выводу, который полезно заметить: если сумма двух переменных чисел равна постоянному числу, то их произведение будет наибольшее из всех возможных тогда, когда эти числа сделаются равными между собою. Например, если х + у = 10, то произведение ху будет наибольшее, когда х = у = 5. И действительно: 5 • 5 = 25; 6 • 4 = 24;
7
• 3 = 21; 8 • 2=16 и т. д.
Выводом этим приходится иногда пользоваться для решения различных задач на maximum. Приведем этому примеры.
34. Из всех прямоугольников с данным периметром какой будет иметь наибольшую площадь?
Решение. Пусть данный периметр есть 2р, основание х и высота у. Тогда площадь равна ху. Так как х + у есть полупериметр, равный постоянному числу р, то maximum произведения ху будет при х = у, т. е. тогда, когда прямоугольник сделается квадратом.
35. В круге данного радиуса r вписать прямоугольник о наибольшею площадью.
Решение. Если х и у будут основание и высота вписанного прямоугольника, то х2 + y2 = r2. Требуется при этом условии найти maximum произведения ху. Очевидно, что maximum этого произведения будет при тех же значениях х и у, при которых будет maximum квадрата
его. Но (хy )2 = х2y2 и х2 + y2 = постоянному числу r2. Значит, maximum х2y2,
будет при х2 = y2, т. е. при х = у; тогда же будет и maximum ху. Искомый прямоугольник должен быть квадрат.
36. В данный треугольник вписать прямоугольник с наибольшею площадью так, чтобы его основание лежало на основании треугольника, а две вершины упирались в боковые стороны его.
Решение. Обозначим основание и высоту треугольника b и h и прямоугольника х и у. Из подобия треугольников находим: x : b = (h — y) : h; откуда: Подставив в выражение площади прямоугольника ху на место х найденную величину, получим:
площадь прямоугольника
Требуется найти, при каком значении у эта дробь будет иметь наибольшее значение. Но в этой дроби знаменатель и множитель b в числителе суть числа постоянные; поэтому дробь получит наибольшее вначение тогда, когда произведение (h— y)y сделается наибольшим. Но в этом произведении сумма сомножителей h — у и у есть число постоянное; вследствие этого maximum
произведения (h— y)y будет при (h— y) = y, т. е. при y = 1/2 h .
37. Из всех прямоугольников, вписанных в круг данного радиуса r, какой имеет наибольший периметр?
Решение. Вопрос приводится к нахождению maximum суммы х + √4r2 — х2. Вместо этой суммы нам выгоднее искать maximum ее квадрата:
(х + √4r 2 — х2)2 = х2 + 4r 2 — х2 + 2х √4r 2 — х2 = 4r 2 + 2х √4r 2 — х2
и, следовательно, maximum произведения х√4r 2 — х2. Квадрат этого произведения, равный х2(4r 2 — х2), имеет maximum при х2 =
4r 2 — х2, так как сумма сомножителей есть число постоянное (4r 2). Значит, х = r √2 , но тогда и высота прямоугольника будет равна √4r 2 — х2
= √4r 2 — 2r 2 = r √2 т. е. прямоугольник будет квадратом.
38. В треугольнике даны оcнование (а) и сумма (s) его боковых сторон. Каковы должны быть эти стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшая?
Решение. Если х и у будут боковые стороны треугольника, то периметр его равен х + у + a = s + a, т. е. он есть величина постоянная. Обозначив его 2р, мы можем воспользоваться формулой, выражающей площадь Δ треугольника по его трем сторонам:
Δ = √p(p—a)(p—x)(p—y)
и искать maximum произведения (р — х) (р — у). Так как (р — х) + (р — у) = 2p — (x + y) = 2p — s, т. е. эта суммма есть величина постоянная, то maximum ее будет при р — х = р — у, т. е. при х = у. Значит, искомый треугольник должен быть равнобедренный.
39. Какой из всех прямоугольников с данною диагональю имеет: 1) наибольшую площадь; 2) наибольший периметр?
40. В круге данного радиуса r проведена хорда. Какова должна быть эта хорда, чтобы треугольник, образованный ею и двумя радиусами, проведенными к концам хорды, имел наибольшую площадь?
Указание. Обозначив длину хорды 2х, мы приведем вопрос к нахождению maximum выражения х√r 2 — х2, или его квадрата х2(r 2 — х2). В
окончательном результате увидим, что хорда должна быть стороною вписанного квадрата.
41. Какой из всех прямоугольников с данным периметром 2р имеет наименьшую диагональ?
Указание. Если стороны прямоугольника будут х и у, то диагональ его выразится √x 2 + y2, а периметр 2х + 2у. По условию задачи 2х + 2у = 2р; следовательно,
х + у = р и у = р — x. Поэтому диагональ равна √x 2 + (р— x)2 Наименьшая
величина ее будет, очевидно, при наименьшей величине подкоренного выражения. Таким образом, вопрос сводится к нахождению наименьшего значения х2 + (р— x)2 = 2х2 — 2рх + p2. Это значение найдется при помощи производной так, как это указано на примере, приведенном в конце § 335 отдел 15 этой книги.
Скорость как производная от пространства.
(отдел 15 §§ 337-341.)
42. Некоторое тело движется прямолинейно, таким образом, что в конце t-й секунды от начала движения оно оказывается удаленным от своего начального положения на расстояние е, определяемое равенством:
е = 4 — 3t + t2.
Определить: а) закон скорости этого движения; б) когда скорость положительна, когда она отрицательна и когда равна нулю; в) найти maximum удаления тела от начального положения.
43. Решить те же вопросы, если удаление в выражается формулой:
e = 2t2 — 4t + 5.
Ускорение как производная от скорости.
(отдел 15§§ 342-343.)
44. Тело движется таким образом, что скорость v этого движения в зависимости от времени t (сек.) выражается формулой:
v = 6t — 4t2.
Определить: а) когда скорость возрастает; б) когда она убывает; в) maximum скорости; г) закон уcкорения.
45. Тело движется по прямой линии; его удаление е от некоторой определенной точки О. взятой на этой прямой, выражается в зависимости от времени t формулой:
e = 3/2— 2t + 1/2 t2.
Определить: а) расстояние тела до точки О в момент, от которого начинается счет времени (в момент t = 0); б) закон скорости; в) какова скорость в момент t = 0 (что означает отрицательный знак перед величиною скорости?); г) когда тело начинает двигаться в положительном направлении; д) когда тело проходит точку О (объяснить двойной ответ); е) каков закoн
ускорения относительно времени.
46. Те же самые вопросы относительно движения тела, которого расстояние от точки O определяется формулой:
е = 8 — 7 t + t2
47. Точка движется по прямой Ох таким образом, что ее расстояние е от О в конце 2-ой секунды выражается формулой:
е = t2 — 12 t.
Найти закон скорости и закон ускорения. Когда скорость сделается равной нулю? В какой момент будет minimum e ?
48. Скорость некоторого прямолинейного движения выражается формулой: v = 4 — 6 t + 3t2. Определить: а) начальную скорость; б) начальное ускорение; в) ускорение в конце 2-й секунды; г) среднее ускорение в промежуток времени от конца 1-й секунды до конца 2-й.
Функция третьей степени.
(отдел 15 §§ 344—346.)
Исследовать следующие функции 3-й степени и построить их графики:
49. у = х3 — 1/2х2 — 6х + 21/2 у = 1/3 х3 — х2 — 31/3 х +
8
50. у = х3 — 6х2 + 5х + 11 у = 3х3 — 3х2 — 5х + 2.
51. у = х3 + 2х2 — х — 1.
52. у = х3 — 7х — 4;
53. у = х3 — 13х + 12;
54. у = х3 — 7х + 5;
55. у = х2(6 — х).
Замечание. Если значения данной функции настолько велики, что их неудобно изобразить на чертеже, то можно все их уменьшать в несколько раз. Например, при исследовании функции:
у = х3 + 15х2 + 12 х — 27.
удобнее уменьшить значения функции в 9 раз, т. е. взять функцию:
1/9 у = 1/9 х3 + 5/3 х2 + 4/3 х — 3.
Графическое решение уравнения 3-й степени.
(отдел 15§ 347.)
Решить графически следующие уравнения:
56. х3 + х — 4 = 0. 57. х3 —3х = —2.
58. х3 —3х =1,5. 59. х3 —3х + 1 = 0.
60. х3 + х —7 = 0. 61. х3 —х — 1 = 0
62. х2 — 2/x = 1. 63. х2 — 2/x = 4.
64. 65. х3 — 4х2 + 5 = 0.
Замечание. Последний пример можно свести к построению параболы 3-й степени у = х3 и параболы 2-й степени у = 4х2 — 5.
Функция вида у = a/x
(отдел 15§§ 348-349.)
66. Построить график у = 4/x между x = — 4 и x = + 4.
Найти предельные значения при х = ± ∞ и x = 0. Найти производную от этой функции и при ее помощи определить, где функция возрастает и где убывает и куда направлена еe вогнутость.
67. Построить график у = — 1/x . Сравнить его с графиком у = 1/x (черт. 23)'
68. Построить графики функций:
1) у = x + 1/x 2) у = x — 1/x
Найти производные этих функций и при их помощи решить вопросы о возрастании или убывании функций, а также о maximum и minimum их.
Замечание. Графики указанных функций можно, конечно, cтроить, составив предварительно таблицы их значений для нескольких произвольно взятых значений х. Но можно поступить и так: построить (при одних и тех же осях и в одном и том же масштабе) график функции у = 1/x (это будет гипербола, изображенная на черт. 23) и график функции у
= х (это будет биссектриса углов хОу и х'Оу'). Затем все ординаты биссектрисы увеличить (для функции у = x + 1/x или уменьшить (для функции у = x — 1/x) на соответствующие ординаты гиперболы.
Этот прием можно употреблять вообще тогда, когда данная функция представляет собою сумму или разность двух других функций.
69. Построить графики х2 — 7 и 4/x. Найти точки пересечения и при их помощи определить корни уравнения х3 — 7х — 4 = 0 (т. е. уравнения х2 — 7 = 4/x).
70. Построить графики у = 1/x +1 и х2 + 2х между х = — 3 и х = 2. Найти точки пересечения и при их помощи решить уравнение х3 + 2х2 — х—1 = 0.
Уравнение прямой.
(отдел 16 §§ 350-352; повторить отдел 3 глава 3 §§ 115-117 части I).
71. Каково будет уравнение прямой, параллельной оси x-ов и отсекающей от оси у-ов отрезок, равный +2; +3 1/2; — 4; —10,5 ?
72. Каково будет уравнение прямой, параллельной оси у-ов и отсекающей от оси х-ов отрезок, равный +3; — 5; (вообще m)?
73. Какая прямая выражается уравнением: а) у = 0; б) x = 0?
74. Что можно сказать о прямой, выражаемой уравнением вида у = ах: а) если а > 0; б) если а < 0?
75. Какая прямая выражается уравнением: а) у = x б) у = — x ?
76. Чему равен угловой коэффициент прямой, выражаемой следующим уравнением:
а) у = 2х + 5 б) у = х — 3 в) у = 1/2 х
г) у = 7 — 3x д) у = — 0,5x е) у = — x
77. Чему равны угловой коэффициент и начальная ордината прямой, выражаемой уравнением:
а) 3х + 2у = 10 б) — 0,7y + 3/4 х — 5 = 0 в) ах + bу = с ?
78. Каким уравнением выражается:
а) ось x - ов; б) ось у-ов?
79. Если две прямые, выражаемые уравнениями вида: у = ах + b и у = а1х + b1 параллельны между собою, то что можно утверждать об угловых коэффициентах а и а1 ?
80. Найти угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми у = ах + b и у = а1х + b1 .
Черт.1
Решение. Из чертежа 1-го видно, что ω = α1 — α; следовательно,
Пусть, например, у = 2х — 3 и у = 5х + 1. Тогда
и log tg ω = log 3 — log 11 = 0,4771 — 1,0414 = 1,4357; ω = 15°15' (приблизительно).
81. Найти условие перпендикулярности двух прямых у = ах + b и у = а1х + b1 .
Решение. Из предыдущей задачи видно, что если ω = 90°, то tg ω = ∞ и 1+ aа1= 0; следовательно, искомое условие есть следующее:
а1 = — 1/a
Наиримеp, прямые у = 2х — 3 и у = — 0,5х— 3 перпендикулярны, так как —0,5 = —1/2
82. Если прямая выражается уравнением:
то что означают здесь a и b ?
Решение. Положив в уравнении х = 0, найдем: у = b. Значит, на прямой находится точка (0,b), т. е. прямая отсекает, от оси у-ов отрезок, равный b. Равным образом, положив у = 0, найдем: х = а. Значит, прямая отсекает от оси x-ов
отрезок, равный а.
Это же можно видеть из чертежа 2-го.
Черт.2
Из подобия треугольников следует, что ординаты произвольной точки М прямой удовлетворяют пропорции:
у: b = (a — х): а,
откуда: ау = аb — bх ; bх + ау = аb. Разделив все члены на аb, найдем:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку:
83. (2,5) (—2,5) (2,—5) ( — 2,—5)
84. (0,7) (0,—7) (3,0) (—3,0)
Составить уравнение прямой, проходящей через следующие пары точек:
85. (1,5) и (2,3) (—3,2) и (7,—4).
86. (0,0) и (5,6) (0,4) и ( — 2,—3).
87. (0,7) и (2,0) (—2,—3) и (7,8).
88. Даны две точки: (2,5) и (7,3). Найти расстояние между ними.
Найти расстояние между двумя точками каждой из следующих пар:
89. (—3,5) и (2,3) ( — 3,5) и (2,—3).
90. (3,—5) и (2,3) (3,—5) и (—2,—3).
91. Проверить, что если даны две точки: (x1 , y1) и (x2, y2), то при всех возможных случаях расположения этих точек расстояние l между ними выражается формулой:
Уравнение окружности.
(отдел 16 § 353.)
92. Написать уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат и радиус равен: а) 5; б)8/3; в) 2,7.
Написать уравнение окружности, радиуса 10, центр которой лежит в точке:
93. 1) (12,13) 2) (10,13) 3) (10,10)
94. 1) (7,13) 2) (7,8) 3) (0,11)
95. 1) (0,5) 2) (12,0) 3) (3,0)
96. 1) (—2,4) 2) (—2,—3), 3) (7,—5)
97. Найти радиус окружности, выражаемой уравнением:
а) х2 + y2= 100 б) х2 + y2 =50.
Показать, что следующие уравнения выражают окружности, найти их радиусы (перед знаками квадратных радикалов надо подразумевать оба знака ±):
98. 25х2 + 25y2 = 289 4х2 + 4y2 = 49
99. у = √16 — х2 у = √36 — х2 .
100. у = √20 — х2 у = 1/3 √100 — 9х2
101. у = 1/2 √81 — 4х2 (x — 2)2 + (y
— 1)2 = 25
102. (x + 31/3)2 + (y — 4)2 = 81/4
103. Показать, что уравнение
3х2 + 3y2 + 8х — 6y = 20
(у которого коэффициенты при х2 и y2 одинаковы и нет числа, содержащего ху) есть уравнение круга; определить его радиус и положение центра.
Решение. Разделим все члены на общий коэффициент при х2 и y2 :
х2 + y2 + 8/3х — 2y = 20/3
или
х2 + 8/3 х + y2 — 2y = 20/3
Чтобы дополнить сумму первых 2 членов до полного квадрата, надо к ней добавить (4/3)2; чтобы сделать то же самое с суммой 3-го и 4-го членов надо добавить к ней 1х2. Добавим же к каждой части уравнения по (4/3)2 +1 , т. е. по 25/9; тогда получим:
(х + 4/3)2 + (у —1)2 = 20/3 + 25/9 = 85/9.
Отсюда видно, что уравнение представляет окружность, которой центр находится в точке (—4/3, 1) и радиус равен √ 85/9 = 1/3√ 85
104. Показать (таким же приемом, какой указан в решении предыдущей задачи), что вообще уравнение вида:
Aх2 + Aх2 + Bx + Cy + D = 0,
у которого коэффициенты при х2 и y2 одинаковы и нет члена с ху, выражает окружность; найти ее радиус и положение центра.
Найти радиус и положение центра окружностей, выражаемых уравнениями:
105. х2 + y2 — 12х —16y + 24 = 0
106. х2 + y2 = 2у + 35
107. у = — 7 ±√16 — х2— 6x
108. х2 + y2 + 8х — 6y — 3 = 0
109. у = 3/2 ±1/2√20x — 4х2+11
110. 5х2 + 5y2 — 9y — 38 = 0
111. Вычислить (с точностью до 0,001) координаты точек, в которых прямая линия у = 2х — 3 пересекается с окружностью х2 + y2= 10
Уравнение эллипса.
(отдел 16 §§ 357-361.)
Показать, что следующие уравнения приводятся к виду , т. е. все они выражают эллипс, которого центр совпадает с началом координат и большая ось лежит на оси x - ов (перед радикалами надо подразумевать оба знака ±):
112. х2 + 4y2= 100 3х2 + 16y2= 192
113. 25х2 + 81y2= 2025 4х2 + 9y2= 144
114.
115. y = 1/2√36 — х2 y = 2/5√100 — х2
116. y = 3/8√64 — х2 y = 1/2√20— х2
Найти положение центра и величину и положение осей эллипсов, выражаемых следующими уравнениями:
Показать, что следующие уравнения приводятся к виду:
т. е. что они выражают эллипс, центр которого лежит в точке (m,n) и большая ось параллельна оси х-ов:
123. y = ± 4/5√10x — х2 124. y = 1 ± 1/4√108 —9 х2— 36 х
125. На эллипсе, заданном уравнением
взята точка, которая при положительной абсциссе имеет ординату 1. Составить уравнение касательной, проходящей через эту точку. Найти координаты точек пересечения этой касательной с осями координат.
126. То же, если точка взята на эллипсе: y = ± 1/5√ 25 — х2 и при положительной ординате имеет абсциссу 3.
Уравнение гиперболы.
(отдел 16 §§ 363—368.)
Показать, что следующие уравнения приводятся к виду , т. е. что они выражают гиперболы, которых оси расположены на осях координат; вещественная ось на оси x-ов, мнимая на оси y - ов; написать уравнения асимптот (перед знаками радикалов подразумеваются оба знака ±):
127. 9х2 — 4y2 = 36 128. у = 3/4√ х2— 16
129. у = 5/3√ х2— 9 130. у = 1/2√ х2— 64
131. у = √ х2— 16 132.
у = 2/3√ х2— 81
Каковы будут величины осей у гипербол:
Определить положение центра и осей гипербол, данных уравнениями:
Показать, что следующие уравнения приводятся к виду:
т. е. что они выражают гиперболу, центр которой лежит в точке (m,n) и оси параллельны координатным осям, вещественная ось параллельна оси x-ов, мнимая ось параллельна оси у-ов:
139. y = 1 ± 2/3√ х2— 6 х 140. y = — 3 ± 2/5√ х2+ 10 х
141. На гиперболе: взята точка, которая при положительной абциссе имеет ординату 1. Составить уравнение касательной, проведенной через эту точку, и найти точки пересечения ее о осями координат.
142. То же для гиперболы: у = ± 2/3√ х2— 49 , если взятая на ней точка при положительной ординате имеет абсциссу, равную 8.
Уравнение параболы.
(отдел 16 §§ 370-375.)
Определить положение вершины, оси и директрисы парабол, заданных следующими уравнениями:
143. y2= 10х 144. y2= 6х 145. y2= 9х
146. y = ±√3x 147. y = ±√7x 148. y = ±√12x
(В этих шести случаях ось параболы лежит на оси x-ов и направлена в положительном ее направлении.)
149. y2= —9х 150. y2= —10х; 151. y2= —х
(В трех последних примерах ось направлена в отрицательном направлении оси x-ов.)
152. y2 = 8x — 16 153. y2 = 5x + 15 154. y = ±√2x + 8
(В последних трех примерах координаты вершины будут: (2,0), (—3,0) и (—4,0); ось идет по положительному направлению оси х - ов.)
155. (у + 2)2 = 4x; y = 1 ±√16x ; (у — 4)2 = 12x
(Координаты вершины параболы: (0, — 2), (0,1) и (0,4).
156. 2 y2 + 2y — 11x + 73 = 0
Решение. Уравнение можно преобразовать так:
y2 + y= 11/2 x — 73/2
(y+ 1/2)2 = 11/2 x — 73/2 + 1/4
(y+ 1/2)2= 11/2 x — 145/4;
(y+ 1/2)2 = 11/2 (x — 290/44)
Отсюда видно, что вершина лежит в точке (290/44,—1/2) ось параллельна оси х-ов и направлена в положительную сторону; параметр равен 11/4 = 23/4
157. y2 + 6y — 9x = 0 158. у = 1/2 x2
159. 15у = x2 160. — 8у = x2
Как мы видели в § 212 (ч. 1 отдел 9 глава 1), кривая, выраженная уравнением вида у = ax2 + c, есть парабола у = ax2 , только перемещенная параллельным перенесением на с единиц вверх, если с > 0, и вниз, если с < 0. Ось параболы направлена по положительному направлению оси у-ов,
если a > 0, и по отрицательному, если a < 0. Руководствуясь этим, определить положение вершины, оси и директрисы в следующих примерах:
161. у = 2х2 — 8 у = 3х2 + 6 у = 5х2 — 10
162. у = 3х2— 12 у = х2 — 25 у = 4х2+ 16
163. у = — 3х2 + 12 у = — 4х2 + 8 у = —2х2 —10
Приняв во внимание отдел 9 глава 2 § 224 и отдел 15 глава 4 § 335, определить координаты вершины параболы и направление ее оси, а также решить вопрос о возрастании или убывании функции и о ее нулевых значениях (т. е. точках, в которых парабола пересекается с осью x - ов):
164. у = х2 + 5х + 4 165. у = х2 + 11/6 х — 5/3
166. у = 8/3 — 2/3 х — х2 167. у = 2 + 4х — х2
168. у = х2 + 3/2 х — 9/2 169. у = — х2 + 4х — 5
170. у = 5 — 2х — х2 171.
у = — х2 + 6х — 9
172. На параболе у = 3/2 х2 взята точка с абсциссой 2. Составить уравнение касательной, проведенной через эту точку.
173. То же для точки с абсциссой —2.
174. На параболе у = 1/3 х2 взяты две точки, у которых одна и та же ордината, именно —12; составить уравнения касательных, проведенных через эти точки.
Первообразная функция.
(отдел 17 §378.)
Найти первообразные функции по следующим производным:
175. у' = а у' = — 5 у' = 1/5 у' = 2,3
176. у' = х у' = 3х у' = 1/3 х у' = 0,7x
177. у' = х + 2 у' = х —7 у' = 2х + 1/2
178. у' = 5х —2 у' = 2а ± b у' = mх ± р
179. у' = 5х2 у' = — 2х2 у' = nх2 ± m
180. у' = 3х2 + 1х у' = 12х2 — 4х у' = 21х2 + 8х — 2
181. у' = х2 у' = 4х3 — 7х у' = ax2 + bx + c
(в последних двух примерах надо предварительно раскрыть скобки).
Нахождение площади.
(отдел 17 § 377.)
185. Найти площадь, ограниченную прямой у = 2х + 1, осью x - ов и двумя ординатами, соответствующими абсциссам x = 4 и x = 25. Проверить полученное число посредством формулы элементарной геометрии для площади трапеции.
186. То же между x = 1 и x =10; между x =—1 и x =15.
187. Определить площадь, ограниченную параболой у = 2х2 + 3, осью x - ов и 2 ординатами при x =3 и x = 9.
188. То же между x = 0 и x = 8; между x = 1 и x = 10.
189. Определить площадь, ограниченную параболой у = 3 + 4x + 3х2, осью x - ов и ординатами, соответствующим абсциссам х =1 и х = 2.
190. Найти площадь, заключенную между осью x - ов и дугою параболы у = 7х — х2 —10, ограниченную точками пересечения этой кривой с осью x - ов.
191. Дана кривая .Найти площадь, ограниченную этой кривою, осью х - ов и ординатами при х = 2 и х = 8.
192. Определить площадь, ограниченную кривою, выраженного уравнением х2у = х3 + a3, осью х - ов и ординатами при х = a и х = 2a.
193. Найти точку пересечения кривой с осью х - ов и затем определить площадь, ограниченную этой кривой и осью х - ов от точки пересечения до ординаты при х = 2.
По данному закону скорости найти закон пространства.
(отдел 17 § 379.)
Найти закон пространства, если:
194. v = 2 + 3t и е = 3, если t = 0
195. v = t2 + 4t — 5 и е = 4, если t = l
196. и е = 3, если t = l
197. и е = 4, если t = 2
198. v = (t — 1)(t — 3) и е = 5, если t = 0
199. и е = 6, если t = 1
200. Поезд движется между двумя последовательными остановками со скоростью v = 1/2 t(2 — t), если скорость измерять километрами в минуту и время выражать в минутах, начиная от первой остановки; показать, что
1) все расстояние между остановками поезд проходит в 2 минуты;
2) maximum скорости будет 1/2 км в минуту;
и 3) расстояние между остановками равно 2/3 км.
По данному закону ускорения найти закон скорости.
(отдел 17 § 380.)
201. Камень брошен вертикально вниз со скоростью 30 м в секунду; ускорение от действия силы тяжести равно 9,8 м в секунду; найти скорость тела по прошествии t секунд от начала падения и пространство, которое камень пройдет в t секунд.
202. Тело движется по прямой линии с ускорением w = 3t2 + t — 2. Найти maximum и minimum скорости, если известно, что когда t =1, тогда v = 10.
203. Тело движется по прямой линии с ускорением w = 2 + 6t. Определить закон скорости, если известно, что v = — 2, если t = 0.
Нахождение объема.
(отдел 17 §§ 381—383.)
204. Парабола у2 = 4ах, которой ось расположена на оси х - ов (в положительном ее направлении), вращаясь вокруг этой оси, производит так называемый параболоид вращения. Найти объем, ограниченный поверхностью этого параболоида и плоскостью, перпендикулярною к оси х - ов в точке ее х = b. Показать, что этот объем равен 1/2 объема цилиндра,
описанного около параболоида.
205. Взята часть гиперболы у = 1/x, лежащей в угле хОу, и из концов ее проведены перпендикуляры на ось х - ов; один из этих перпендикуляров оказался на расстоянии а от оси y-ов, другой на расстоянии b > а. Найти объем тела, происходящего от вращения вокруг оси х - ов фигуры, ограниченной этой осью, двумя указанными
перпендикулярами и дугою гиперболы. Показать затем, что если b —> ∞, то этот объем приближается к конечному пределу.
206. Уравнение выражает эллипс, которого центр совпадает с началом координат и большая ось расположена на оси х - ов. Найти объем эллипсоида, получаемого вращением этого эллипса вокруг большой оси (предварительно надо найти оси эллипса).
207. Найти объем тела, производимого вращением вокруг оси х - ов кривой у2 = х (а —х).
208. Чертеж 3 -й изображает равностороннюю гиперболу x2— у2 = a2, пересеченную хордою ВC, параллельною оси y - ов и отстоящею от нее на расстоянии OD = 2а. Показать, что объем тела, получаемого вращением вокруг оси х - ов части ABD, равен объему шара радиуса а.
209. Показать также, что объем тела, получаемого вращением вокруг оси y-ов фигуры EBAСF (черт. 3). равен половине объема цилиндра, получаемого вращением прямоугольника EBСF.
|
Черт.3
|
Делимость на х — а.
(отдел 18 §§ 391—395.)
210. Найти остаток от деления многочлена х4 — 3х3 — 5х2 + 20 х — 8 на х — 1; на х +1; на х — 2; на х + 2; на х — 3; на х + 3.
211. Определить численную величину а в многочлене: х4 + 3х3 + 4х2 + aх + 11, чтобы он делился без остатка на х +1.
212. Как можно быстро решить кубичное уравнение, если один его корень известен? Например, решить уравнение х3 — 6х2 + 11 х — 6 = 0, которого один корень есть 1.
213. Ученик запомнил, что делимость или неделимость двучленов хm — am и хm + am на двучлены х — a и х + a зависит от того, будет ли показатель m четное число или нечетное; но он забыл, когда делимость происходит
при четном показателе и когда при нечетном. Как можно легко восстановить в памяти все эти 4 случая делимости?
Сложные радикалы.
(отдел 18 § 403.)
Преобразовать следующие сложные радикалы в сумму или разность двух простых радикалов:
225. Пусть аn означает длину стороны правильного n- угольника, вписанного в круг радиуса R. Тогда, как известно из геометрии:
Преобразовать эту формулу в разность двух простых радикалов.
226. Найти необходимое и достаточное условие, чтобы корни уравнения ax4 + bx2 + c = 0 могли быть выражены в виде суммы или разности двух простых радикалов.
Дополнительные Сведения о неравенствах.
(отдел 18 §§ 404 — 409.)
227. Показать, что при всяком вещественном значении х имеет место следующее неравенство:
228. Доказать, что если а и b два положительные числа и а > b, то √a —√b < √a — b.
229. Доказать, что если n > 0, то
230. Доказать, что если х и у два положительных неравных числа, то
4(х3 + y3 ) > (х + y)3 .
231. Умножение обеих частей неравенства
F1(x) > F2(x)
на f (x) приводит ли всегда к равносильному неравенству?
Если, например, обе части неравенства: 2х — 3 > х + 7 умножим на 2 — х, то получим ли равносильное неравенство?
Комплексные числа.
(отдел 18 §§ 410-415.)
232. Проверить равенство:
i7 + i18 + i25 + i35 + i97 + i100 = 0.
Вычислить выражения:
Проверить возвышением в квадрат или в куб следующие равенства:
Выполнить указанные действия:
248. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы произведение (a + bi)(c + di) было: 1) число вещественное; 2) число мнимое.
249. То же для частного (a + bi):(c + di).
250. Все ли действия над комплексными числами, выраженными под видом a + bi, выполнимы?
Упростить выражения:
255. Обозначив для краткости:
проверить равенства:
1) α13 = α23 = α33 = l;
2) α1 + α2 + α3 = 0;
3) α1α2 α3 =1;
4) α12 = α2 ;
5) α22 = α1;
6) l + α1 + α12 = 0.
256. Доказать при помощи комплексных чисел, что всякое число, равное какой-нибудь степени суммы двух квадратов, есть само сумма двух квадратов.
Решение.
(a2 + b2)m = [(a + bi )(a — bi)]m = (a + bi )m (a — bi)m
Но если выполним, согласно биному Ньютона возвышение в степень, то найдем, что
(a + bi )m = A + Вi и (a — bi)m = А — Вi, следовательно,
(a2 + b2)m = (A + Вi) (А — Вi) = A2 + B2.
|