АЛГЕБРА     В НАЧАЛО

 

ОТДЕЛ ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ.

(В скобках поставлены соответствующие параграфы.)

Основные сведения о пределах.
Подъем кривой и производные.
Возрастание или убывание функций.
Скорость как производная от пространства.
Ускорение как производная от скорости.
Функция третьей степени.
Графическое решение уравнения 3-й степени.
Функция вида     у = a/x 
Уравнение прямой.
Уравнение окружности.
Уравнение эллипса.
Уравнение гиперболы.
Уравнение параболы.
Первообразная функция.
По данному закону скорости найти закон пространства.
По данному закону ускорения найти закон скорости.
Делимость на   х — а.
Сложные радикалы.
Дополнительные Сведения о неравенствах.

 

Основные сведения о пределах.

(Отдел 14 §§ 307-318.)

1. Найти предел, к которому стремится дробь

если х—>1.

Решение. Если х—>1, то числитель и знаменатель  данной дроби стремятся к 0. Но так как   0/0  есть неопределенное выражение, то мы остаемся в неизвестности, к какому пределу стремится данная дробь (и даже стремится ли она к какому бы то ни было пределу), если х—>1.

Поступим так: предположим, что х равен не 1, а какому-нибудь переменному числу, приближающемуся к 1. Например, пусть x =  l + h, где h какое-нибудь положительное число, стремящееся к нулю. Тогда величина данной дроби будет:

(сократить дробь на h мы имеем право, так как h =/=0).

Предположим  теперь,   что h—>0   и,  следовательно,  х—>1

Тот же самый предел  мы найдем,  если допустим, что x = 1— h где h какое-нибудь положительное число, стремящееся к 0. Таким образом, будет ли х приближаться к 1, оставаясь больше 1 или оставаясь меньше 1, предел данной дроби будет один и тот же, именно 3.

2. Найти предел, к которому стремится дробь

если х—>1.

3. То же, если х—>0

4. Найти пред.

5. Найти пред.

6. Найти пред.

Решение. Так как

то

7.  Найти пред.

8.  Найти пред.

9. Найти предел, к которому стремится дробь, если к числителю и знаменателю ее будем прикладывать одно и то же число, неограниченно возрастающее; другими словами, найти

Решение.

Таким образом, будет ли дробь  a/b правильная (а< b),  или неправильная (а>b), предел дроби, когда m—> ∞,  оказывается один  и  тот  же,  именно   1.  Отсюда следует,  что правильная  дробь, приближаясь к 1, увеличивается, а неправильная уменьшается. Таким образом, например.

10. Доказать, что если x >1, то

пред. (хn )n —> ∞ =

если x < 1, то этот предел есть 0 (показатель n предполагается целым положительным).

Решение. Если х > 1, то можно принять, что х = 1 + h где h какое-нибудь положительное число. Тогда

Отсюда следует, что при h положительном

хn = ( 1 + h )n > 1 + nh

При безграничном возрастании n произведение nh, а поэтому и сумма 1 + nh, возрастает неограниченно; значит, пред. (хn )n —> ∞ = .

Пусть теперь x<1. Положим тогда, что , где x1 >1. Тогда

Ho x1 >1; поэтому по доказанному выше пред.   x1n =  и, следовательно,

пред. ( x1n ) = 1/ =

Отсюда,  между  прочим,  вытекают  те  два  предложения  о бесконечных геометрических прогрессиях, которые были  нами ранее доказаны другим путем (ч. I, отдел 10 глава 3 §§ 251,б и 251,в), а именно, что член   aqn прогрессии  при неограниченном возрастании n (т. е. при  удалении   от   начала   прогрессии) безгранично возрастает, если прогрессия возрастающая (q>1), и безгранично убывает (стремится к нулю), если прогрессия убывающая (q<1).

11. Доказать, что

12. Доказать, что

13. Доказать, что

14. Доказать, что

(n целое положительное число).

15. Найти

16. Построить график функции

y = x + 1/x

Найти предельное значение этой функции, если х —> 0, оставаясь положительным, и предельное значение, если х —> 0, оставаясь отрицательным.

Подъем кривой и производные.

(отдел 15 §§ 319-333.)

17.  Начертить график функции у = х23х + 2; определить подъем кривой при х 1;     х = 2; х 3; вообще при х = х .

18.  То же для  у = 3х22х + 5.

Найти производные от функций:

19.   у = 5х                     у =  — 71/2 х.

20.   у = 3х4               у =  32х.

21.   у = 10х2                   у =  — 0,8 х2 .

22.   у = 3х22х + 4     у =  х22х1.

Возрастание или убывание функций.

Maximum и minimum.

(отдел 15 §§ 334-335.)

23. Построить график функции

у =  1/4( 3х24х7)

между х = — 3 и х2. Определить (и   проверить  на чертеже), при каких значениях х функция возрастает и при каких убывает.  Имеет ли  функция  minimum  или   maximum и чему он равен?

24. Проследить изменение функции:

у = 7х2 + 3х2,

т. е. определить, при каких значениях х функция возрастает при каких убывает и имеет ли maximum, или minimum и какие. То же для функций:

25. у— х2 + 8х + 1           у = — 2 + 4х + 1

26. у = 1/2 х2 + 3х7         у =  0,1х21/4 х + 2

27. ух2 + 3                        у = — х2 + 7

28  у = х24х                   у = х2 + 4х

29. у = 2х28х + 5           у =  — 2 + 9х9

30. у = 23х — х2            у =  7 + 2х3х2 

31. у = (х 3)2+(3х 5)2 

32. у = √х2 +10           у = √3х2

Указание. Если радикал рассматривается только в положительном значении, то очевидно, что в двух последних примерах y изменяется в том же смысле, в каком изменяется подкоренная величина. Поэтому вопрос приводится к рассмотрению изменения трехчленов х2 +10  и 3х2

Maximum и minimum.

(отдел 15§§ 334-335.)

33 Данное число а разделить на такие две части,  чтобы произведение их было наибольшее из всех возможных.

Решение. Пусть одна часть, х, тогда другая часть равна а — х и их произведение будет   х (а — х) = ах — х2 . Производная этого двучлена есть а — 2х. Из признаков возрастания и убывания функций (§ 335) следует, что

если а — 2х > 0, т. е. х < 1/2 a , то функция возрастает;

если а — 2х < 0, т. е. х 1/2 a , то функция убывает.

Чиячит при х 1/2 a наша функция получает maximum. Тогда другая часть будет равна .-a — 1/2 a = 1/2 a, т. е. обе части окажутся одинаковы.

Мы приходим таким образом к следующему выводу, который полезно заметить: если сумма двух переменных чисел равна постоянному числу, то их произведение будет наибольшее из всех возможных тогда, когда эти числа сделаются равными между собою. Например, если х + у = 10, то произведение ху будет наибольшее, когда х = у = 5.
И действительно: 5 • 5 = 25; 6 • 4 = 24; 7 • 3 = 21; 8 • 2=16 и т. д.

Выводом этим приходится иногда пользоваться для решения различных задач на maximum. Приведем этому примеры.

34.  Из всех прямоугольников с данным периметром какой будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Пусть данный периметр есть 2р, основание х и высота у. Тогда площадь равна ху. Так как х + у есть полупериметр, равный постоянному числу р, то maximum произведения ху будет при х = у, т. е. тогда, когда прямоугольник сделается квадратом.

35.   В   круге   данного  радиуса  r вписать  прямоугольник о наибольшею площадью.

Решение. Если х и у будут основание и высота вписанного прямоугольника,
то х2 + y2 = r2. Требуется при этом условии найти maximum произведения ху. Очевидно, что maximum этого произведения будет при тех же значениях х и у, при которых будет maximum квадрата его. Но (хy )2х2y2 и х2 + y2 = постоянному числу r2. Значит, maximum   х2y2,   будет при х2 =  y2, т. е. при х = у; тогда же будет и maximum ху. Искомый прямоугольник должен быть квадрат.

36.  В данный треугольник вписать прямоугольник с наибольшею площадью так, чтобы его  основание лежало на основании   треугольника,   а   две   вершины   упирались   в  боковые стороны его.

Решение. Обозначим основание и высоту треугольника b и  h  и прямоугольника х и у. Из подобия треугольников находим: x : b = (h — y) : h; откуда: Подставив в выражение площади прямоугольника ху на место х найденную величину, получим:

площадь прямоугольника      

Требуется найти, при каком значении у эта дробь будет иметь наибольшее значение. Но в этой дроби знаменатель и множитель b в числителе суть числа постоянные; поэтому дробь получит наибольшее вначение тогда, когда произведение (h— y)y сделается наибольшим. Но в  этом произведении  сумма сомножителей h — у и у есть число постоянное; вследствие этого maximum произведения  (h— y)y будет   при  (h— y) = y,
т.  е.  при y = 1/2 h .

37. Из всех прямоугольников, вписанных в круг данного радиуса r, какой имеет наибольший периметр?

Решение. Вопрос приводится к нахождению maximum суммы х + √4r2х2. Вместо этой суммы нам выгоднее искать maximum ее квадрата:

(х + √4r 2х2)2 = х2 + 4r 2х2 + 2х4r 2х2 = 4r 2 + 2х4r 2х2

и, следовательно, maximum произведения х4r 2х2. Квадрат этого произведения, равный х2(4r 2х2), имеет maximum при х2 = 4r 2х2, так как сумма сомножителей есть число постоянное (4r 2). Значит, х = r 2 , но тогда и высота прямоугольника будет  равна   √4r 2х2 = √4r 22r 2 = r 2  т. е. прямоугольник будет квадратом.

38. В треугольнике даны оcнование (а) и сумма (s) его боковых сторон. Каковы должны быть эти стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшая?

Решение. Если х и у будут боковые стороны треугольника, то периметр его равен
ху + a = s + a, т. е. он есть величина постоянная. Обозначив его 2р, мы можем воспользоваться формулой, выражающей площадь Δ треугольника по его трем сторонам:

Δ = p(pa)(px)(py)

и искать maximum произведения (р — х) (р — у).
Так как (р — х) + (р — у) = 2p — (x + y) = 2p — s, т. е. эта суммма есть величина постоянная, то maximum ее будет при р — хр — у, т. е.  при х = у.  Значит, искомый  треугольник должен  быть равнобедренный.

39.  Какой из всех прямоугольников с данною  диагональю имеет: 1) наибольшую площадь; 2) наибольший периметр?

40.  В круге данного радиуса r проведена хорда.  Какова должна быть эта хорда, чтобы треугольник, образованный ею и двумя радиусами, проведенными к концам хорды, имел наибольшую площадь?

Указание. Обозначив длину хорды 2х, мы приведем вопрос к нахождению maximum выражения хr 2х2, или его квадрата х2(r 2х2). В окончательном результате увидим, что хорда должна быть стороною вписанного квадрата.

41.  Какой из всех прямоугольников с данным периметром 2р имеет наименьшую диагональ?

Указание. Если стороны прямоугольника будут х и у, то диагональ его выразится
x 2 + y2, а периметр 2х2у. По условию задачи 2х2у = 2р; следовательно, ху = р и у = р — x. Поэтому диагональ равна √x 2 + (р— x)2 Наименьшая величина ее будет, очевидно, при наименьшей величине подкоренного выражения. Таким образом, вопрос сводится к нахождению наименьшего значения х2  + (р— x)2 = 2х22рх + p2. Это значение найдется при помощи производной так, как это указано на примере, приведенном в конце § 335 отдел 15  этой книги.

Скорость как производная от пространства.

(отдел 15  §§ 337-341.)

42.  Некоторое тело движется прямолинейно, таким образом, что в конце t-й секунды от начала движения оно оказывается удаленным от своего начального положения на расстояние е, определяемое равенством:

е = 43t + t2.

Определить: а) закон скорости этого движения; б) когда скорость положительна, когда она отрицательна и когда равна нулю; в) найти maximum удаления тела от начального положения.

43.  Решить те же вопросы, если удаление в выражается формулой:

e = 2t24t 5.

Ускорение как производная от скорости.

(отдел 15§§ 342-343.)

44.  Тело  движется  таким  образом,   что  скорость  v  этого движения в зависимости от времени t (сек.) выражается формулой:

v = 6t4t2.

Определить: а) когда скорость возрастает; б) когда она убывает; в) maximum скорости; г) закон уcкорения.

45.  Тело  движется по прямой линии; его удаление е от некоторой определенной точки О. взятой на этой прямой, выражается в зависимости от времени t формулой:

e = 3/2 2t  + 1/2 t2.

Определить: а) расстояние тела до точки О в момент, от которого начинается счет времени (в момент = 0);
б)  закон скорости;
в)  какова скорость в момент t = 0 (что означает отрицательный знак перед величиною скорости?);
г)  когда тело начинает двигаться в положительном направлении;
д)  когда тело проходит точку О (объяснить двойной ответ);
е)  каков закoн ускорения относительно времени.

46.  Те же самые вопросы относительно движения тела, которого расстояние от точки O определяется формулой:

е = 8 — 7 t + t2

47.  Точка движется по прямой Ох таким образом, что ее расстояние е от О в конце 2-ой секунды выражается формулой:

е = t2 — 12 t.

Найти закон скорости и закон ускорения. Когда скорость сделается равной нулю? В какой момент будет minimum   e ?

48.  Скорость некоторого  прямолинейного  движения  выражается  формулой:
 v = 46 t + 3t2.  Определить:  а) начальную скорость; б) начальное ускорение; в) ускорение  в конце 2-й секунды; г) среднее ускорение в промежуток времени от конца 1-й секунды до конца 2-й.

Функция третьей степени.

(отдел 15 §§ 344—346.)

Исследовать следующие функции 3-й степени и построить их графики:

49.  у = х3  — 1/2х2  — 6х  + 21/2     у = 1/3 х3  — х2  — 31/3 х  + 8

50. ух3  — 6х2  + 5х  + 11           у = 3х3  — 3х2 — 5х + 2.

51.  у = х3 + 2х2х — 1.

52.  у = х3 7х 4;

53. ух3 13х 12;

54. ух3 7х 5;

55. ух2(6х).

Замечание. Если значения данной функции настолько велики, что их неудобно изобразить на чертеже, то можно все их уменьшать в несколько раз. Например, при исследовании функции:

у = х3 + 15х2 + 12 х — 27.

удобнее  уменьшить  значения  функции  в  9  раз,  т. е. взять функцию:

1/9 у = 1/9 х3 + 5/3 х2 + 4/3 х — 3.

Графическое решение уравнения 3-й степени.

(отдел 15§ 347.)

Решить графически следующие уравнения:

56.    х3 + х — 4 = 0.       57.     х3 —3х = —2.

58.   х3 —3х =1,5.           59.    х3 —3х + 1 = 0.

60.  х3 + х —7 = 0.          61.   х3 —х — 1 = 0

62. х2 — 2/x = 1.              63.    х2 — 2/x = 4.

64.                 65.    х3 — 4х2 + 5 = 0.

Замечание. Последний пример можно свести к построению параболы 3-й степени
у =  х3 и параболы 2-й степени у4х2 5.

Функция вида     у = a/x 

(отдел 15§§ 348-349.)

66.  Построить график у = 4/x   между   x = — 4   и   x = + 4.

Найти предельные значения при х = ±   и x = 0. Найти производную  от этой функции и при ее помощи определить, где функция возрастает   и   где   убывает   и  куда  направлена  еe вогнутость.

67.  Построить график у = — 1/x .   Сравнить   его с графиком  у =  1/x  (черт. 23)'

68.  Построить графики функций:

1) у = x 1/x     2) у = x — 1/x

Найти производные этих функций и при их помощи решить вопросы о возрастании или убывании функций, а также о maximum  и minimum  их.

Замечание. Графики указанных функций можно, конечно, cтроить, составив предварительно таблицы их значений для нескольких произвольно взятых значений х. Но можно поступить и так: построить (при одних и тех же осях и в одном и том же масштабе) график функции  у =  1/x (это будет гипербола, изображенная на черт. 23) и график функции     у = х (это будет биссектриса углов хОу и х'Оу'). Затем все ординаты биссектрисы увеличить (для функции у = x 1/x  или уменьшить (для функции у = x — 1/x) на соответствующие  ординаты гиперболы.

Этот прием можно употреблять вообще тогда, когда данная функция представляет собою сумму или разность двух других функций.

69.  Построить графики х2 7 и 4/x. Найти точки пересечения и при их помощи определить корни уравнения х3 — 7х4 = 0 (т. е. уравнения х2 7 = 4/x).

70.  Построить графики  у =  1/x +1  и х2 + 2х   между  х = — 3  и х2. Найти точки пересечения и при их помощи решить уравнение х3  + 2х2х1 = 0.

 

Уравнение прямой.

(отдел 16 §§ 350-352; повторить отдел 3 глава 3  §§ 115-117 части I).

71.  Каково будет уравнение прямой, параллельной оси x-ов и отсекающей от оси у-ов отрезок, равный +2; +3 1/2; — 4; —10,5 ?

72.  Каково будет уравнение прямой, параллельной оси у-ов и отсекающей от оси х-ов отрезок, равный +3; — 5; (вообще m)?

73.  Какая прямая выражается уравнением: а) у = 0; б) x = 0?

74.  Что можно сказать о прямой, выражаемой уравнением вида у = ах: а) если а > 0; б) если а0?

75.  Какая прямая выражается уравнением: а)  у = x б) у = x ?

76.  Чему равен угловой коэффициент прямой, выражаемой следующим уравнением:

а) у = 2х + 5    б) у = х — 3     в) у =  1/2 х   

г)  у = 7 — 3x     д)  у = — 0,5x  е)  у =  — x

77.  Чему равны угловой коэффициент и начальная ордината прямой, выражаемой уравнением:

а) 3х 2у = 10     б) — 0,7y +  3/4 х5 = 0 в) ах + bу = с ?

78.  Каким уравнением выражается:

а) ось x - ов; б) ось у-ов?

79.  Если две прямые, выражаемые  уравнениями вида: у =  ах + b и  у =  а1х + b1  параллельны между собою, то что можно утверждать об угловых коэффициентах а и а1 ?

80.  Найти угол,  образуемый двумя пересекающимися прямыми у =  ах + b и  у =  а1х + b1 .

Черт.1

Решение. Из чертежа 1-го видно, что ω = α1 α; следовательно,

Пусть, например, у2х — 3 и у5х + 1. Тогда

и    log tg ω = log 3 log 11 = 0,47711,0414 = 1,4357;     ω = 15°15' (приблизительно).

81. Найти   условие   перпендикулярности    двух    прямых  у =  ах + b и  у =  а1х + b1 .

Решение. Из предыдущей задачи видно, что если ω = 90°, то tg ω =  и 1+ 1= 0; следовательно, искомое условие есть следующее:

а1 = — 1/a

Наиримеp, прямые  у2х — 3 и у— 0,5х— 3 перпендикулярны, так как —0,5 = —1/2

82. Если прямая выражается уравнением:

то что означают здесь a   и   b  ?

Решение. Положив в уравнении х = 0, найдем: у = b. Значит, на прямой находится точка (0,b),  т. е. прямая отсекает, от оси у-ов отрезок, равный b. Равным образом, положив     у = 0, найдем: х = а. Значит, прямая отсекает от оси x-ов отрезок, равный а.

Это же можно видеть из чертежа 2-го.

Черт.2

Из подобия треугольников следует, что ординаты произвольной точки М прямой удовлетворяют пропорции:

у: b = (a — х): а,

откуда:    ау = аb — bх ;   bх + ау = аb. Разделив все члены на аb, найдем:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку:

83.  (2,5)            (—2,5)            (2,—5)            ( — 2,—5)

84.  (0,7)           (0,—7)           (3,0)               (—3,0)

Составить уравнение прямой, проходящей через следующие пары точек:

85.  (1,5) и (2,3)                 (—3,2) и (7,—4).

86.  (0,0) и (5,6)                 (0,4) и ( — 2,—3).

87.  (0,7) и (2,0)                 (—2,—3) и (7,8).

88.  Даны две точки: (2,5) и (7,3). Найти расстояние  между ними.

Найти расстояние между двумя точками каждой из следующих пар:

89.  (—3,5) и (2,3)                ( — 3,5) и (2,—3).

90.  (3,—5) и (2,3)               (3,—5) и (—2,—3).

91.  Проверить, что если  даны две  точки: (x1 , y1) и (x2, y2), то при всех возможных случаях расположения этих точек расстояние между ними выражается формулой:

Уравнение окружности.

(отдел 16 § 353.)

92.  Написать уравнение окружности, центр которой  совпадает с началом координат и радиус  равен:   а) 5;   б)8/3;  в) 2,7.

Написать уравнение окружности, радиуса 10, центр которой лежит в точке:

93.  1) (12,13)                   2) (10,13)                  3) (10,10)

94.  1) (7,13)                     2) (7,8)                      3) (0,11)

95.   1) (0,5)                      2) (12,0)                    3) (3,0)

96.  1) (—2,4)                   2) (—2,—3),             3) (7,—5)

97.  Найти радиус окружности, выражаемой уравнением:

а) х2 + y2= 100         б)  х2 + y2 =50.

Показать, что следующие уравнения выражают окружности, найти их радиусы (перед знаками квадратных радикалов надо подразумевать оба знака ±):

98.  25х2 + 25y2 = 289                4х2 + 4y2 = 49

99.  у = √16х2                     у = √36х2  .

100.  у = √20х2                       у = 1/3 1009х2  

101.  у = 1/2 814х2                  (x 2)2 + (y 1)2 = 25

102.   (x 31/3)2 + (y 4)2 = 81/4

103.  Показать, что уравнение

3х2 + 3y2 + 8х — 6y  = 20

(у которого коэффициенты при х2 и y2 одинаковы и нет числа, содержащего ху) есть уравнение круга; определить его радиус и положение центра.

Решение. Разделим все члены на общий коэффициент при х2 и y2 :

х2 + y2 + 8/3х — 2y  = 20/3

или

х2 +  8/3 х +  y2 — 2y  = 20/3

Чтобы дополнить сумму первых 2 членов до полного квадрата, надо к ней добавить  (4/3)2; чтобы сделать то же самое с суммой 3-го и 4-го членов надо добавить к ней 1х2. Добавим же к каждой части уравнения по (4/3)2 +1 , т. е. по 25/9; тогда получим:

(х + 4/3)2 + (у —1)2 = 20/3 + 25/9 = 85/9.

Отсюда видно, что уравнение представляет окружность, которой центр находится в точке (—4/3,  1) и радиус равен   √ 85/9 = 1/3 85

104.  Показать (таким  же приемом, какой указан в решении предыдущей задачи), что вообще уравнение вида:

Aх2 + Aх2 + Bx + Cy + D = 0,

у которого коэффициенты при х2 и y2 одинаковы и нет члена с ху, выражает окружность; найти ее радиус и положение центра.

Найти радиус и положение центра  окружностей,   выражаемых уравнениями:

105.  х2 + y212х —16y + 24 = 0

106.  х2 + y2 = 2у + 35

107.  у = — 7 ±√16х2— 6x  

108.  х2 + y28х — 6y — 3 = 0

109.  у = 3/2 ±1/220x4х2+11 

110.  2 + 5y2  — 9y — 38 = 0

111.  Вычислить (с точностью до 0,001) координаты точек, в которых  прямая  линия      у = 2х — 3 пересекается  с окружностью  х2 + y2= 10

Уравнение эллипса.

(отдел 16 §§ 357-361.)

Показать,  что  следующие  уравнения  приводятся  к  виду , т.  е.  все  они  выражают  эллипс,   которого центр совпадает с началом  координат и большая ось лежит на оси x - ов (перед радикалами надо подразумевать оба знака ±):

112.  х2 + 4y2= 100                  3х2 + 16y2= 192

113. 25х2 + 81y2= 2025              4х2 + 9y2= 144

114.      

115.   y = 1/236х2               y =  2/5100х2 

116.   y = 3/864х2                   y = 1/220х2 

Найти  положение   центра и  величину и  положение  осей эллипсов, выражаемых следующими уравнениями:

Показать, что следующие уравнения приводятся к виду:

т. е. что они выражают эллипс, центр которого лежит в точке (m,n) и большая ось параллельна оси х-ов:

123.    y =  ±  4/510xх2        124.  y = 1 ±  1/4108 9 х236 х  

125. На эллипсе, заданном уравнением

взята точка, которая при положительной абсциссе имеет ординату 1. Составить уравнение касательной, проходящей через эту точку. Найти координаты точек пересечения этой касательной с осями координат.

126.  То же, если точка взята на эллипсе:  y =  ±  1/525х2  и при положительной ординате имеет абсциссу 3.

Уравнение гиперболы.

(отдел 16 §§ 363—368.)

Показать, что следующие уравнения приводятся к виду , т. е. что они выражают гиперболы, которых оси расположены на осях координат; вещественная ось на оси x-ов, мнимая на оси y - ов; написать уравнения асимптот (перед знаками радикалов подразумеваются оба знака ±):

127.  9х2 — 4y2 = 36                      128.   у = 3/4 х216  

129. у = 5/3 х29                        130.   у =  1/2 х264  

131. у = √ х216                           132.  у = 2/3 х281  

Каковы будут величины осей у гипербол:

Определить положение центра и осей гипербол, данных уравнениями:

Показать, что следующие уравнения приводятся к виду:

т. е. что они выражают гиперболу, центр которой лежит в точке (m,n) и оси параллельны координатным осям, вещественная ось параллельна оси x-ов, мнимая ось параллельна оси у-ов:

139.  y = 1 ±  2/3х26 х               140. y = — 3 ±  2/5 х2+ 10 х 

141. На гиперболе:  взята точка, которая при положительной абциссе имеет ординату 1. Составить  уравнение касательной, проведенной через эту точку, и найти точки пересечения ее о осями координат.

142.  То же для гиперболы: у = ± 2/3 х249  , если взятая на ней точка при положительной  ординате  имеет  абсциссу, равную 8.

Уравнение параболы.

(отдел 16 §§ 370-375.)

Определить  положение  вершины,  оси и директрисы  парабол, заданных следующими уравнениями:

143.   y2= 10х             144. y26х              145. y29х

146.  y = ±√3x           147.  y = ±√7x        148. y = ±√12x

(В этих  шести  случаях ось параболы  лежит на оси x-ов и направлена в положительном ее направлении.)

149. y2—9х       150.  y2= —10х;        151. y2= х

(В трех последних примерах  ось  направлена в отрицательном направлении оси x-ов.)

152.  y2 = 8x — 16    153. y2 = 5x + 15    154.  y = ±√2x + 8

(В последних трех примерах координаты вершины будут: (2,0), (—3,0) и (—4,0); ось идет по положительному направлению оси х - ов.)

155.  (у + 2)2 = 4x;     y = 1 ±√16x  ;     (у  4)2 = 12x

(Координаты вершины параболы: (0, — 2), (0,1) и (0,4).

156.   2 y2 + 2y11x73 = 0

Решение. Уравнение можно преобразовать так:

y2 + y= 11/2 x — 73/2

(y+ 1/2)2 = 11/2 x — 73/2 + 1/4

(y+ 1/2)2= 11/2 x145/4;

(y+ 1/2)2 = 11/2 (x290/44)

Отсюда видно, что вершина лежит в точке (290/44,—1/2)  ось параллельна оси х-ов и направлена в положительную сторону; параметр равен 11/4 = 23/4

157.  y2 + 6y9x = 0        158. у = 1/2 x2

159.  15у =  x2                    160. — 8у = x2 

Как мы видели в § 212 (ч. 1 отдел 9 глава 1), кривая, выраженная уравнением вида
у = ax2 + c, есть парабола у = ax2 , только перемещенная параллельным перенесением на с единиц вверх, если с > 0, и вниз, если с < 0. Ось параболы направлена по положительному направлению оси у-ов, если a > 0, и по отрицательному, если a < 0. Руководствуясь этим, определить положение вершины, оси и директрисы в следующих примерах:

161.   у = 2х2 — 8             у =  3х2 + 6            у = 5х2 — 10

162.  у = 3х2— 12             у =  х225             у = 4х2+ 16

163.   у = — 3х2 + 12          у = — 4х2 + 8           у = —2х2 —10

Приняв во внимание отдел 9 глава 2  § 224  и отдел 15 глава 4 § 335, определить координаты вершины параболы и направление ее оси, а также решить вопрос о возрастании или убывании функции и о ее нулевых значениях (т. е. точках, в которых парабола пересекается с осью x - ов):

164.  у = х2 + 5х  + 4                165. у =  х2 + 11/6 х5/3

166. у = 8/3  — 2/3 хх2         167. у2 + 4хх2

168. ух2 + 3/2 х9/2           169. у = — х2 + 4х — 5

170. у = 5 — 2хх2               171. у = — х2 + 6х9

172. На параболе у3/2 х2 взята точка с абсциссой 2. Составить уравнение касательной, проведенной через эту точку.

173. То же для точки с абсциссой —2.

174.  На параболе  у1/3 х2 взяты  две  точки, у  которых одна и та же ордината, именно —12; составить уравнения касательных, проведенных через эти точки.

Первообразная функция.

(отдел 17 §378.)

Найти первообразные функции по следующим производным:

175.  у' = а         у' =5        у' = 1/5                       у' = 2,3

176.  у' = х         у' = 3х          у' = 1/3 х                      у' = 0,7x

177.  у' = х + 2                        у' = х 7                  у' = 2х + 1/2

178.  у' = 5х  —2                    у' = 2а ± b                у' = mх ± р

179.  у' = 5х2                         у' =2х2                 у' = 2 ± m

180.  у' = 3х2 + 1х                   у' = 12х2 — 4х        у' = 21х2 + 8х — 2

181.  у' = х2                            у' = 4х37х           у' = ax2  + bx + c

(в  последних двух  примерах  надо  предварительно раскрыть скобки).

Нахождение площади.

(отдел 17 § 377.)

185.  Найти площадь, ограниченную прямой у = 2х + 1, осью x - ов и двумя  ординатами, соответствующими абсциссам x = 4 и x = 25.  Проверить полученное число посредством формулы элементарной геометрии для площади трапеции.

186.  То же между x = 1 и x =10; между x =—1 и x =15.

187.  Определить площадь, ограниченную параболой  у = 2х2 + 3, осью x - ов и 2 ординатами при  x =3 и x = 9.

188.  То же между x = 0 и x = 8; между x = 1 и x = 10.

189.  Определить площадь, ограниченную  параболой у3 + 4x + 3х2, осью x - ов и ординатами,  соответствующим абсциссам х =1 и х = 2.

190.  Найти площадь, заключенную между осью x - ов и дугою параболы
у = 7хх2 —10, ограниченную точками пересечения этой кривой с осью x - ов.

191.  Дана кривая  .Найти площадь, ограниченную этой кривою, осью х - ов и ординатами при х = 2 и х = 8.

192.  Определить площадь, ограниченную кривою,  выраженного уравнением
х2у = х3 + a3, осью х - ов и ординатами при х = a и х = 2a.

193.  Найти точку пересечения кривой  с осью х - ов и  затем  определить  площадь,  ограниченную  этой   кривой  и осью х - ов от точки пересечения до ординаты при х = 2.

По данному закону скорости найти закон пространства.

(отдел 17 § 379.)

Найти закон пространства, если:

194.  v = 2 + 3t и е = 3, если t = 0

195.  v = t2 + 4t — 5 и е = 4, если t = l

196.   и е = 3, если t = l

197.   и е = 4, если t = 2

198. v = (t1)(t  — 3) и е5, если t = 0

199.     и е = 6, если t = 1

200.  Поезд движется между двумя последовательными остановками со скоростью  
v = 1/2 t(2t),   если  скорость измерять километрами в минуту и время выражать в  минутах,  начиная от первой остановки; показать, что

1) все   расстояние между   остановками поезд   проходит   в 2 минуты;

2) maximum скорости будет 1/2 км в минуту;

и 3) расстояние между остановками равно 2/3 км.

По данному закону ускорения найти закон скорости.

(отдел 17 § 380.)

201.   Камень   брошен вертикально   вниз со  скоростью   30 м в секунду; ускорение   от действия силы тяжести равно 9,8 м в секунду; найти скорость тела по прошествии t секунд от начала падения и пространство, которое камень пройдет в t секунд.

202.  Тело движется по прямой линии с ускорением w = 3t2 + t — 2. Найти maximum и minimum скорости, если  известно, что когда t =1, тогда v = 10.

203.  Тело движется по прямой линии с ускорением w = 2 + 6t. Определить закон скорости, если известно, что v = — 2, если t = 0.

Нахождение объема.

(отдел 17 §§ 381—383.)

204.  Парабола у24ах, которой ось расположена на оси х - ов (в положительном ее направлении), вращаясь вокруг этой оси, производит так называемый параболоид вращения. Найти объем, ограниченный поверхностью этого параболоида и плоскостью, перпендикулярною к оси х - ов в точке ее х = b. Показать, что этот объем равен 1/2 объема цилиндра, описанного около параболоида.

205.  Взята часть гиперболы у = 1/x, лежащей в угле хОу, и из концов ее проведены перпендикуляры на ось х - ов; один из этих перпендикуляров оказался на расстоянии а от оси y-ов, другой на расстоянии b > а. Найти объем тела, происходящего от вращения вокруг оси х - ов фигуры, ограниченной этой осью, двумя указанными перпендикулярами и  дугою гиперболы. Показать затем,  что   если b —> , то этот объем приближается к конечному пределу.

206. Уравнение    выражает эллипс, которого центр совпадает с началом координат и большая ось расположена на оси х - ов. Найти объем эллипсоида, получаемого вращением этого эллипса вокруг большой оси (предварительно надо найти оси эллипса).

207.  Найти объем тела, производимого вращением вокруг оси х - ов кривой  
у2 = х (а —х).

208. Чертеж 3 -й изображает  равностороннюю гиперболу x2у2 = a2, пересеченную хордою ВC, параллельною оси y - ов и отстоящею от нее на расстоянии OD = 2а. Показать, что объем   тела,  получаемого  вращением  вокруг оси х - ов части ABD, равен объему шара радиуса а.

209. Показать также, что объем тела, получаемого вращением вокруг оси y-ов фигуры EBAСF (черт. 3). равен половине объема цилиндра, получаемого вращением прямоугольника EBСF.

Черт.3

Делимость на х — а.

(отдел 18 §§ 391—395.)

210. Найти остаток от деления многочлена  х4 — 3х35х2 + 20 х — 8 на х — 1;
на х +1; на х — 2; на х + 2; на х — 3; на х + 3.

211.   Определить   численную   величину   а   в   многочлене:
х4 + 3х3 + 4х2 +  + 11, чтобы он делился без остатка на х +1.

212.  Как можно быстро решить кубичное  уравнение, если один    его    корень    известен?    Например,    решить уравнение х36х2 + 11 х — 6 = 0, которого один корень есть 1.

213.  Ученик запомнил, что делимость или неделимость двучленов хm — am и хm + am на двучлены х — a и х + a зависит от того,  будет ли показатель m четное число или нечетное; но он забыл, когда делимость происходит при четном показателе и когда при нечетном. Как можно легко восстановить в памяти все эти 4 случая делимости?

Сложные радикалы.

(отдел 18 § 403.)

Преобразовать следующие сложные радикалы в сумму или разность двух простых радикалов:

225. Пусть аn означает длину стороны правильного n- угольника, вписанного в круг радиуса R. Тогда, как известно из геометрии:

Преобразовать эту формулу в разность двух простых радикалов.

226. Найти необходимое и достаточное условие, чтобы корни уравнения
ax4  + bx2 + c = 0  могли быть выражены в виде суммы или разности двух простых радикалов.

Дополнительные Сведения о неравенствах.

(отдел 18 §§ 404 — 409.)

227.  Показать,  что  при  всяком  вещественном  значении х имеет место следующее неравенство:

228.  Доказать, что если а и b два положительные числа и аb,  то √a —√b  < √a b.

229.  Доказать, что если n > 0, то

230.  Доказать, что если х и у два положительных неравных числа, то

4(х3 + y3 ) > (х + y)3 .

231.  Умножение обеих частей неравенства

F1(x) > F2(x)

на f (x) приводит ли всегда к равносильному неравенству?

Если, например, обе части неравенства: 2х — 3 > х + 7 умножим на 2 — х, то получим ли равносильное неравенство?

Комплексные числа.

(отдел 18 §§ 410-415.)

232.  Проверить равенство:

i7 + i18 + i25 + i35 + i97 + i100 = 0.

Вычислить выражения:

Проверить возвышением  в квадрат или в куб следующие равенства:

Выполнить указанные действия:

248.   Найти  необходимое и достаточное  условие   для того, чтобы произведение
(a + bi)(c + di) было: 1) число вещественное; 2) число мнимое.

249.  То же для частного (a + bi):(c + di).

250.  Все ли действия над комплексными числами, выраженными под видом a + bi, выполнимы?

Упростить выражения:

255. Обозначив для краткости:

проверить равенства:

1)  α13 = α23 = α33 = l;

2)  α1  + α2 + α3 = 0;

3)  α1α2 α3 =1;

4)  α12 = α2  ;

5)  α22 = α1;

6)  l + α1 + α12 = 0.

256. Доказать при помощи комплексных  чисел, что всякое число,  равное  какой-нибудь  степени  суммы двух   квадратов, есть само сумма двух квадратов.

Решение.

(a2 + b2)m = [(a + bi )(a — bi)]m = (a + bi )m (a — bi)m

Но если выполним, согласно биному Ньютона возвышение в степень, то найдем, что

(a + bi )m = A + Вi и (a — bi)m  = А — Вi, следовательно,

(a2 + b2)m = (A + Вi) (А — Вi) = A2 + B2.

 

 

Используются технологии uCoz